Родился 30 октября 1957 г. в Липецке.
В 1979 г. поступил на геологический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (МГУ), на первом курсе подрабатывал плотником. В 1980-1982 гг. прервал учебу и проходил службу в Вооруженных силах СССР. Окончил МГУ в 1986 г. по специальности "геолог-геофизик".
Затем остался работать в университете секретарем комитета комсомола факультета. До 1990 г. учился в аспирантуре вуза. В 1996 г. также окончил Институт повышения квалификации Финансовой академии при правительстве РФ (ныне Финансовый университет при правительстве РФ) по специальности "экономист".
В 1991 г. Андрей Кигим стал ведущим экономистом международного управления Сбербанка, в 1992-1993 гг. возглавлял отдел содействия приватизации управления ценных бумаг Сбербанка, в 1993-1998 гг. был заместителем директора управления ценных бумаг и доверительных операций.
В 1998-2000 гг. - финансовый директор, затем первый заместитель председателя правления "Росгосстраха".
С 16 июня 2000 г. по 31 июля 2001 г. - заместитель руководителя Федеральной службы РФ по финансовому оздоровлению и банкротству (руководили службой в тот период Георгий Таль и Татьяна Трефилова).
С 31 июля 2001 г. по 22 сентября 2003 г. Андрей Кигим занимал должность заместителя министра природных ресурсов РФ Виталия Артюхова, курировал финансово-экономический блок работы министерства.
С 22 сентября 2003 г. по 19 марта 2004 г. был заместителем руководителя аппарата правительства РФ (руководили аппаратом в этот период Константин Мерзликин, затем Дмитрий Козак).
В марте 2004 г. Андрей Кигим занял должность заместителя исполнительного директора Всероссийского союза страховщиков (ВСС).
В апреле 2004 г. стал исполнительным директором, а в мае того же года - президентом Российского союза автостраховщиков. Во время его работы в союзе были внесены значительные изменения в систему страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств. В частности, пострадавшая в ДТП сторона смогла обращаться в свою страховую компанию, а не в компанию виновника, также началось внедрение "европротокола" (оформление мелких ДТП без участия сотрудников ГИБДД).
В 2007-2010 гг. - президент Национального союза страховщиков.
С мая 2009 г. по март 2013 г. - президент ВСС.
21 марта 2013 г. распоряжением премьер-министра Дмитрия Медведева Андрей Кигим был назначен председателем Фонда социального страхования (ФСС) РФ.
12 февраля 2021 г. был назначен премьер-министром РФ Михаилом Мишустиным на пост председателя правления Пенсионного фонда РФ, сменил на этом мосту Максима Топилина. 14 июля 2022 г. президент РФ Владимир Путин подписал закон об объединении ПФР и ФСС в единый Фонд пенсионного и социального страхования. 31 июля 2022 г. Андрей Кигим был освобожден должности главы ПФР.
Задекларированный доход за 2019 г. - 10 млн 438 тыс. руб., супруги - 8 млн 24 тыс. руб.
Награжден орденом Почета (2009).
Женат, трое детей.