В 1988 г. окончил Московский государственный институт международных отношений Министерства иностранных дел СССР (МГИМО).
После окончания института был направлен на работу в Министерство иностранных дел СССР, занимал различные посты в центральном аппарате и за рубежом, в том числе советника посольства в Ираке.
С 2002 г. был советником-посланником посольства РФ в Ираке. После вторжения в эту страну войск США и союзников в марте 2003 г. большинство российских дипломатов (включая посла) покинули Багдад, при этом Александр Кинщак остался в иракской столице, исполняя обязанности временного поверенного. Позднее в связи с обострением ситуации он также выехал в Москву, но в июне 2003 г. вновь вернулся в Багдад в качестве временного поверенного. В 2004 г. Кинщак принимал участие в освобождении захваченных в заложники российских специалистов, работавших в Ираке.
В 2004 г., после возвращения из Ирака, занимал пост начальника отдела в Департаменте Ближнего Востока и Северной Африки МИД России. В 2006-2008 гг. - заместитель директора этого департамента.
С 28 января 2008 г. по 4 марта 2013 г. - чрезвычайный и полномочный посол России в Государстве Кувейт. После отставки с поста вернулся на прежнюю должность в Департамент Ближнего Востока и Северной Африки.
С 22 декабря 2014 г. по 29 октября 2018 г. - чрезвычайный и полномочный посол РФ в Сирийской Арабской Республике (сменил на этом посту Азамата Кульмухаметова). На посту посла РФ в Сирии его сменил Александр Ефимов.
С 30 ноября 2018 г. – директор Департамента Ближнего Востока и Северной Африки МИД России.
Одновременно с 8 октября 2020 г. - спецпредставитель МИД РФ по сирийскому урегулированию.
Имеет дипломатический ранг чрезвычайного и полномочного посла (2017).
Награжден орденами Мужества (2003; "за мужество и отвагу, проявленные при исполнении служебного долга", получил награды вместе с шестью другими сотрудниками посольства в Ираке, участвовавших в эвакуации посольства 6 апреля 2003 г.), Почета (2017), Александра Невского (2022), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (1999). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2020).
Владеет арабским и английским языками.