Родился 7 декабря 1966 г. в Москве. Мать, Евгения Юрьевна Клименко, в 1990-х гг. входила в правление Промстройбанка России, в настоящее время, согласно данным СПАРК-Интерфакс, владеет 100% компании "РК-Аудит" (до 2016 г. 20% принадлежало Герману Клименко).
В 1988 г. окончил Военный инженерный Краснознаменный институт им. А.Ф. Можайского (ныне Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского) в г. Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) по специальности "электронно-вычислительная техника". В 1995 г. завершил обучение на факультете переподготовки Высшей школы экономики по специальности "банки и банковская деятельность".
После окончания вуза в 1983-1990 гг. служил в Вооруженных силах СССР.
В 1990-1991 гг. работал начальником отдела программирования Центра вычислительных работ объединения ЭЛЕКС.
С 1991 г. по 1993 г. - начальник отдела Международного информационного банка данных Информационно-вычислительного центра Международной топливно-энергетической ассоциации.
В 1993-1994 гг. - инженер по математическому обеспечению программ и связи, начальник кредитного отдела – заместитель директора, исполняющий обязанности директора Московского филиала коммерческого банка (КБ) "Старбанк".
С 1994 г. по 1998 г. - начальник кредитно-денежного отдела, заместитель управляющего, управляющий филиала "Черёмушки" КБ "Российский кредит" (Москва).
В 1998-1999 гг. - председатель правления КБ "Элика".
Параллельно начал развивать собственный бизнес, создал и возглавил аудиторскую компанию "РК-Аудит", интернет-компанию List.ru (позднее продана Mail.ru). Также владел продовольственным магазином, газетой, интернет-кафе и др.
В 2000–2008 гг. - владелец и управляющий банка "Квота" (ныне - Айви банк).
Создатель и руководитель интернет-проекта Liveinternet.ru, который в 2003 г. объединил счетчик статистики rax.ru и сервис дневников li.ru. Позднее организовал целый ряд других проектов, в частности, 3dnews.ru и Mediametrics.
С 2008 г. по 2016 г. - специалист по стратегическому планированию общества с ограниченной ответственностью "Лаборатория поисковых и стратегических решений".
В июне 2013 г. стал президентом Ассоциации развития электронной коммерции.
С 1 августа 2014 г. был председателем совета директоров Группы компаний AllinOne Network (зарегистрирована в Дубае, ОАЭ), которая работает в сфере медицинской диагностики и электронной коммерции в фармокологии на рынках РФ и Ближнего Востока. Покинул компанию в 2015 г.
С февраля 2015 г. по декабрь 2017 г. был директором и председателем совета Института развития интернета, одним из создателей которого являлся. Организация осуществляет сбор и обработку статистической и аналитической информации, а также проводит анализ трендов развития интернет-зависимых отраслей экономики в РФ и за рубежом.
22 декабря 2015 г. президент РФ Владимир Путин предложил Герману Клименко перейти на работу в Администрацию главы государства и стать советником по вопросам, связанным интернетом и электронными технологиями.
С 4 января 2016 г. по 13 июня 2018 - советник президента РФ.
Член Экспертной комиссии по вопросам определения количества пользователей сайтов или страниц сайтов в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (с 2014 г.).
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 6 млн 299 тыс. руб., супруги – 116 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 4 млн 641 тыс. руб., супруги – 131 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 6 млн 479 тыс. руб., супруги – 296 тыс. руб.