Родился 15 июня 1957 г. в г. Ошмяны Гродненской области Белоруссии. Детство провел в д. Крейванцы, расположенной на польско-белорусской границе.
В 1980 г. окончил Свердловское высшее военно-политическое танко-артиллерийское училище (расформировано в 1993 г.), в 1986 г. - курсы офицеров-политработников по иностранным языкам Министерства обороны СССР, получив квалификацию переводчика по языку дари. В 1991 г. окончил Военно-политическую академию им. В. И. Ленина, в 2004 г. - факультет переподготовки и повышения квалификации Военной академии Генерального штаба Вооруженных сил РФ.
Кандидат психологических наук. В 2001 г. в Российской академии государственной службы при президенте РФ защитил диссертацию на тему "Личностно-психологические особенности россиян с низким и высоким уровнями дохода".
В 1974-1975 гг. работал учителем черчения, труда и физкультуры в Крейванцевской сельской восьмилетней школе.
В 1975-1997 гг. проходил срочную военную службу в Вооруженных силах. В 1975 г. был направлен в разведывательный батальон гарнизона военного городка Печи г. Борисова. После окончания Свердловского училища служил замполитом роты в 97-й гвардейском парашютно-десантном полку 7-й гвардейской воздушно-десантной дивизии в литовском г. Алитусе. Затем проходил службу в 300-м гвардейском парашютно-десантном полку 98-й гвардейской воздушно-десантной дивизии в Кишиневе.
В 1986 г., после курсов офицеров-политработников, продолжил службу в составе Ограниченного контингента советских войск в Афганистане. Был инструктором политотдела. Числился в составе 345-го отдельного парашютно-десантного полка 40-й армии, который дислоцировался в Баграме.
Затем был заместителем командира парашютно-десантного полка в г. Капсукасе (ныне - г. Мариямполе, Литва).
В 1990 г. стал заместителем председателя Союза ветеранов Афганистана, созданного в 1989 г. Александром Котеневым.
С 1992 г. был ведущим специалистом правительственной комиссии по социальной защите военнослужащих, затем - старшим офицером управления командующего воздушно-десантными войсками.
В 1992 г. участвовал в создании на базе Союза ветеранов Афганистана Народно-патриотической партии (НПП). Был председателем НПП. В 1995 г. партия вошла в избирательный блок "За Родину!", в 1999 г. присоединилась к блоку "Единство".
В октябре 1993 г. поддержал президента РФ Бориса Ельцина в его противостоянии с Верховным советом. Был одним из участников расстрела защитников Белого дома в Москве.
С 1995 по 2001 г. - председатель правления Российского союза ветеранов Афганистана. По словам самого Франца Клинцевича, его работу на должности главы союза курировал министр обороны РФ Павел Грачев при поддержке директора ФСБ Михаила Барсукова.
Накануне президентских выборов 1996 г. Клинцевич вошел в список доверенных лиц Бориса Ельцина.
В декабре 1995 г. баллотировался в Государственную думу РФ II созыва по списку блока "За Родину!". Однако в Думу не прошел, т. к. блок не преодолел необходимый 5-процентный барьер, набрав 0,28% голосов.
В 1995 г. Франц Клинцевич был избран членом совета Общероссийского общественного движения "Реформы - новый курс" (лидер - Владимир Шумейко).
В 1999-2015 гг. - депутат Государственной думы РФ III, IV, V, VI созывов.
19 декабря 1999 г. был избран в Госдуму III созыва по общефедеральному списку избирательного блока "Медведь" (Межрегиональное движение "Единство"). В нижней палате парламента вошел во фракцию "Единство - Единая Россия" (позднее - "Единая Россия"), был заместителем председателя комиссии ГД по содействию политическому урегулированию и соблюдению прав человека в Чеченской Республике. Входил в думский комитет по труду и социальной политике, а также комиссии по борьбе с коррупцией, по оказанию содействия Союзной Республике Югославии в преодолении последствий агрессии НАТО.
В апреле 2001 г. стал и. о. председателя московской городской организации "Единство".
С 19 октября 2001 г. - лидер Общероссийской общественной организации "Российский союз ветеранов Афганистана".
1 декабря 2001 г. на учредительном съезде Всероссийской политической партии "Единая Россия" был избран членом ее генерального совета, курировал вопросы партийного строительства.
В 2002 г. занял пост секретаря регионального отделения "Единой России" в Чеченской Республике.
7 декабря 2003 г. стал депутатом Государственной думы IV созыва. Баллотировался по списку "Единой России", на выборах возглавлял Кавказскую региональную группу (республики Дагестан, Ингушетия, Карачаево-Черкесия, Чечня). В Думе занимал пост заместителя руководителя партийной фракции, входил в комитет ГД по обороне.
2 декабря 2007 г. вновь избран депутатом Госдумы РФ V созыва по списку партии "Единая Россия". Баллотировался под первым номером региональной группы №48 (Костромская область). В нижней палате парламента был первым заместителем председателя комитета по делам ветеранов, членом фракции единороссов.
С июля 2008 г. возглавлял центральный координационный совет сторонников партии "Единая Россия".
4 декабря 2011 г. избран в Госдуму VI созыва от партии "Единая Россия". Участвовал в выборах под первым номером в составе региональной группы кандидатов №68 (Смоленская область). В Думе занял пост заместителя председателя комитета по обороне. Входил в комиссию по правовому обеспечению развития организаций оборонно-промышленного комплекса РФ. Депутатские полномочия сложил досрочно в связи с переходом в Совет Федерации.
В 2015-2020 гг. - член Совета Федерации РФ. 28 сентября 2015 г. указом губернатора Смоленской области Алексея Островского был наделен полномочиями сенатора, представителя от администрации Смоленской области. С 30 сентября 2015 г. по 14 февраля 2018 г. - первый заместитель председателя комитета СФ по обороне и безопасности. В сентябре 2020 г. место представителя правительства Смоленской области в Совете Федерации заняла Нина Куликовских. 23 сентября 2020 г. полномочия Франца Клинцевича были прекращены.
Франц Клинцевич был заместителем председателя комиссии Парламентского собрания Союза России и Белоруссии по безопасности, обороне и борьбе с преступностью.
Член Совета по взаимодействию с общественными объединениями ветеранов, офицеров запаса и в отставке при президенте РФ. Был вице-президентом организации ветеранов войн и локальных конфликтов "Боевое братство", членом президиума независимой организации "Гражданское общество".
Сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 4 млн 996 тыс. руб., супруги - 636 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 5 млн тыс. руб., супруги - 421 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 5 млн 337 тыс. руб., супруги - 210 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 5 млн 877 тыс. руб., супруги - 252 тыс. руб.
Полковник запаса.
Награжден двумя орденами Красной Звезды (1987, 1988), орденами Почета (1999), Дружбы (2003), Александра Невского (2012), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2014), а также орденом Почета Республики Беларусь (1999), орденом "Звезда" III степени Республики Афганистан (1987), 12 медалями СССР и Республики Афганистан. Имеет Почетную грамоту президента РФ (2010).
Автор книг "Психологические особенности детей и молодых людей из семей с низким и высоким уровнем дохода" (2001), "Афган Воздушно-десантных войск" (в соавторстве, 2014).
Владеет языком дари, белорусским, польским и немецким языками.