Родился 9 ноября 1972 г. в Свердловске (с 1991 г. - Екатеринбург).
С 1990 г. учился в Уральском государственном университете (специализация - "история философии"). Затем переехал в Москву, где поступил на факультет экономики и права Российского университета дружбы народов (РУДН). В 1998 г. получил в РУДН степень бакалавра юриспруденции, в 2000 г. окончил магистратуру университета с присвоением степени магистра юриспруденции. В 2002 г. окончил аспирантуру кафедры конституционного, административного и финансового права РУДН.
Доктор юридических наук. В 2002 г. в Московском университете МВД защитил кандидатскую диссертацию на тему "Процедура ампаро как форма конституционного контроля в Мексике". В 2007 г. в тот же вузе защитил докторскую диссертацию на тему "Конституционный контроль и конституционное правосудие в зарубежных странах". Профессор.
В 1995 г., будучи студентом, начал работать в Российском фонде федерального имущества (РФФИ; учрежден при правительстве РФ в 1992 г., ликвидирован в 2008 г.). В частности, занимался ведением арбитражных дел, работал в отделе контроля исполнения договоров и содействия иностранным инвесторам РФФИ.
В августе 1997 г. Андрей Клишас занял должность заместителя начальника юридического управления "Онэксим-банка".
В 1998 г. возглавил ЗАО "Интеррос эстейт", которое входило в ООО "Холдинговая компания "Интеррос". Был также директором по юридическим вопросам, затем - заместителем генерального директора компании "Интеррос".
В 1998 г. вошел в совет директоров РАО "Норникель" (с 2001 г. - ОАО "Горно-металлургическая компания "Норильский никель"). С 2001 по 2008 г. - председатель совета директоров ГМК "Норильский никель".
С октября 2001 г. - генеральный директор, с декабря 2001 г. - председатель правления компании "Интеррос". Занимал пост до 2008 г.
Одновременно занимался научной деятельностью. С 2001 по 2012 г. был преподавателем, старшим преподавателем, доцентом, профессором кафедры конституционного и муниципального права (впоследствии преобразована в кафедру конституционного права и конституционного судопроизводства) юридического института РУДН.
В 2002-2009 гг. входил в советы директоров ЗАО "АПК агрос", ОАО "Полюс золото", ООО "Компания по девелопменту горнолыжного курорта "Роза Хутор", в наблюдательный совет ООО "Финком - инвестиции и управление" и др. Возглавлял также совет директоров ОАО АКБ "Росбанк" в 2004-2008 гг.
В 2008 г. занимал должность генерального директора ЗАО "КМ инвест". В том же году был назначен вице-президентом, председателем совета директоров компании "Интеррос".
С 2008 по 2011 г. был членом совета директоров ГМК "Норильский никель".
В 2010-2012 гг. - президент ОАО "Горно-металлургическая компания "Норильский никель".
В 2011 г. был включен в список кандидатов в депутаты Госдумы РФ VI созыва от партии "Единая Россия". Входил в состав Красноярской региональной группы №26 под шестым номером. По итогам распределения депутатских мандатов после выборов 4 декабря 2011 г. в парламент не прошел.
4 марта 2012 г. Андрей Клишас был избран в Норильский городской совет депутатов IV созыва от красноярского регионального отделения партии "Единая Россия" (баллотировался в составе общей части партийного списка под вторым номером после главы Норильска Сергея Шмакова). Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе.
С 2012 г. - член Совета Федерации РФ (сенатор) от Красноярского края. Был наделен полномочиями сенатора - представителя от исполнительного органа власти региона 19 марта 2012 г., 26 сентября 2014 г., 21 сентября 2018 г., 19 сентября 2023 г.
С 30 мая 2012 г. по 16 апреля 2014 г. возглавлял комитет СФ по конституционному законодательству, правовым и судебным вопросам, развитию гражданского общества.
С 16 апреля 2014 г. - председатель комитета Совета Федерации по конституционному законодательству и государственному строительству (вновь назначен на должность 3 октября 2018 г., 25 сентября 2023 г.).
Полномочный представитель верхней палаты парламента в Генеральной прокуратуре и Следственном комитете РФ (с 26 ноября 2014 г.). Полномочный представитель Совета Федерации в Конституционном суде РФ (с 29 ноября 2016 г.).
С 2012 по 2016 г. Андрей Клишас заведовал кафедрой конституционного права и конституционного судопроизводства юридического института РУДН. В ноябре 2014 г. стал научным руководителем института, а в июле 2016 г. возглавил кафедру теории государства и права юридического института РУДН.
С 15 января 2020 г. был сопредседателем рабочей группы по подготовке предложений о внесении поправки в Конституцию РФ, образованной распоряжением президента Владимира Путина (вместе с Андреем Клишасом группу возглавляли председатель комитета Госдумы по государственному строительству и законодательству Павел Крашенинников и директор Института законодательства и сравнительного правоведения при правительстве РФ Талия Хабриева).
Главный научный сотрудник Института социально-политических исследований РАН (с 2009 г.).
Член Экспертного совета МВД РФ, попечительского совета Ассоциации юристов России и ряда других общественных организаций.
Награжден орденами Дружбы (2018), Александра Невского (2020), "За заслуги перед отечеством" IV степени (2022), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2008), медалью П. А. Столыпина I и II степеней (2022, 2020).
Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2015). Имеет благодарность правительства РФ (2020).
Заслуженный юрист Российской Федерации (2013).
Имеет ордена Русской православной церкви: Святого благоверного князя Даниила Московского II (2023) и III степеней, Преподобного Сергия Радонежского II степени, Святого преподобного Серафима Саровского III степени, др. Награжден медалью Анатолия Кони Министерства юстиции РФ.
Почетный профессор Киргизского национального университета им. Жусупа Баласагына (2013), почетный доктор и почетный член ученого совета Таджикского национального университета, почетный доктор Северного (Арктического) федерального университета имени М. В. Ломоносова.
Автор научных работ по проблемам конституционного права, в том числе книги "Конституционный контроль и конституционное правосудие зарубежных стран: сравнительно-правовое исследование" (2007), монографии "Социальное государство" (2017).
Владеет испанским языком.
Президент Российской федерации охотничьего собаководства. Возглавляет национальные клубы пород "Такса", "Русская псовая борзая", "Бультерьер".