Родился 21 ноября 1960 г. в Москве в семье военного летчика. Отец был родом из Тульской области, мать - из г. Пушкин (ныне - в составе Санкт-Петербурга). В возрасте трех лет переехал с семьей в Минск, где получил среднее образование.
Выпускник Всесоюзной заочной математической школы при Ленинградском университете (ныне - Санкт-Петербургский государственный университет). В 1983 г. окончил Московский авиационный институт (МАИ) по специальности "инженер-механик". В 1991 г. - Белорусский государственный институт народного хозяйства им. В. В. Куйбышева (ныне - Белорусский государственный экономический университет) и Институт политологии и социального управления Коммунистической партии Белоруссии (КПБ).
После окончания МАИ работал мастером, старшим мастером механосборочного цеха Минского механического завода им. Вавилова (ныне - Белорусское Оптико-механическое объединение, БелОМО).
В 1985-1988 гг. - старший мастер, заместитель начальника цеха, заместитель начальника сборочного производства завода "Диапроектор" (г. Рогачев Гомельской обл. Белорусской ССР).
С 1988 по 1989 г. - инструктор организационного отдела Рогачевского городского комитета КПБ.
В 1991-1995 гг. занимал должности начальника планово-экономического отдела, заместителя директора по экономике завода "Диапроектор".
С 1995 по 1996 г. - заместитель начальника Службы контроля президента Белоруссии.
В 1996-1998 гг. - заместитель председателя Комитета государственного контроля Белоруссии.
В 1998 г. - президент Белорусского государственного концерна по производству и реализации товаров легкой промышленности.
С 1998 по 2000 г. был председателем Комитета государственного контроля Белоруссии.
В 2000-2001 гг. - первый заместитель премьер-министра Белоруссии Владимира Ермошина.
С 2001 по 2010 г. занимал пост заместителя премьер-министра Белоруссии в правительствах Геннадия Новицкого (премьер - в 2001-2003 гг.) и Сергея Сидорского (2003-2010). С июля 2002 г. по декабрь 2003 г. также был министром экономики.
В декабре 2010 г. был назначен заместителем главы Администрации президента Белоруссии.
С ноября 2011 г. по август 2012 г. являлся чрезвычайным и полномочным послом Республики Белоруссия в Российской Федерации.
27 августа 2012 г. был назначен главой Администрации президента Белоруссии.
27 декабря 2014 г. указом президента Белоруссии Александра Лукашенко назначен премьер-министром Республики Белоруссия. Сменил на этом посту Михаила Мясниковича.
15 января 2015 г. Палата представителей (нижняя палата) Национального собрания Белоруссии дала согласие президенту республики на назначение Александра Кобякова на пост премьер-министра (в соответствии с белорусской конституцией).
С 16 октября по 16 декабря 2015 г. исполнял обязанности премьер-министра Белоруссии (правительство Белоруссии сложило полномочия перед избранным президентом Александром Лукашенко).
16 декабря 2015 г. указом президента вновь назначен премьер-министром Белоруссии. 18 декабря Палата представителей Национального собрания Белоруссии согласовала назначение Андрея Кобякова премьер-министром страны ("за" - 102 парламентария, "против" - 4). Возглавлял правительство до августа 2018 г.
Женат. Супруга - экономист по профессии, родом из Москвы. Имеет дочь и сына.