Родился 23 июня 1968 г. в г. Уфе Башкирской АССР (ныне Республика Башкортостан)
В 1990 г. окончил Московскую сельскохозяйственную академию им. К. А. Тимирязева (ныне Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К. А. Тимирязева), в 2001 г. - Московский государственный горный университет (ныне Московский горный институт Национального исследовательского технологического университета "МИСиС"), в 2003 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ (РАГС, ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
Кандидат биологических наук. В 1994 г. в Московской сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева защитил диссертацию по теме "Оценка влияния некоторых агроруд на биологическую активность системы почва - растение".
Доктор экономических наук. В 2005 г. в РАГС защитил диссертацию на тему "Эффективность государственного управления социально-экономическим развитием угледобывающего региона".
В 1985 г. был рабочим Башкирской геологической экспедиции рудных месторождений.
В 1994-1996 гг. работал в Российском независимом профсоюзе работников угольной промышленности.
С 1996 по 1999 г. – помощник депутата Государственной думы II созыва, заместителя председателя комитета по энергетике, транспорту и связи Владимира Катальникова (депутатская группа "Российские регионы").
В 1998–2006 гг. Антон Кобяков входил в центральный комитет Российского независимого профсоюза работников угольной промышленности.
В 1999 г. - член центрального совета общероссийской политической общественной организации "Отечество".
В 1999-2003 гг. - заместитель губернатора Кемеровской области Амана Тулеева по международным отношениям и связям с общественностью. В 2000 г. был его доверенным лицом на досрочных выборах президента РФ. В январе - марте 2000 г. - временный член Центральной избирательной комиссии РФ с совещательным голосом, представитель кандидата Тулеева.
В 2002–2005 гг. - заместитель секретаря политсовета кемеровского регионального отделения партии "Единство и Отечество" (с декабря 2003 г. - "Единая Россия").
С 2003 по 2005 г. занимал должность заместителя генерального директора ОАО "Объединенная угольная компания "Южкузбассуголь".
В 2005 г. перешел на работу в Администрацию президента РФ. В 2005-2012 гг. занимал должности главного советника, начальника департамента, заместителя начальника управления президента РФ по внешней политике (начальник управления - Александр Манжосин).
С 6 ноября 2012 г. по 11 апреля 2014 г. руководил Канцелярией президента РФ Владимира Путина (сменил на этом посту Николая Константинова).
С 11 апреля 2014 г. – советник президента РФ. Курирует вопросы организации международных мероприятий с участием главы государства. 13 июня 2018 г. переназначен на должность.
Действительный государственный советник РФ I класса (2012).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Дружбы (2008), Почета. Отмечен Почетными грамотами президента РФ (2011) и правительства РФ (2008), дважды - благодарностью президента РФ (2010, 2015).
Соавтор (вместе с Владимиром Катальниковым) книги "Уголь и шахтеры в государстве Российском. Экономический и социально-исторический аспекты" (2004).