Родился 23 июня 1968 г. в г. Уфе Башкирской АССР.
В 1990 г. окончил Московскую сельскохозяйственную академию им. К. А. Тимирязева (ныне - Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К. А. Тимирязева), в 2001 г. - Московский государственный горный университет (ныне - Московский горный институт Национального исследовательского технологического университета "МИСиС"), в 2003 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ (РАГС, ныне - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
Кандидат биологических наук. В 1994 г. в Московской сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева защитил диссертацию по теме "Оценка влияния некоторых агроруд на биологическую активность системы почва-растение".
Доктор экономических наук. В 2005 г. в РАГС защитил диссертацию на тему "Эффективность государственного управления социально-экономическим развитием угледобывающего региона".
С 1996 по 1999 г. – помощник депутата Государственной думы II созыва, заместителя председателя комитета по энергетике, транспорту и связи Владимира Катальникова, члена депутатской группы "Российские регионы".
В 1998–2006 гг. Антон Кобяков являлся членом центрального комитета Российского независимого профсоюза работников угольной промышленности.
В 1999 г. вошел в состав центрального совета Общероссийской политической общественной организации "Отечество" мэра Москвы Юрия Лужкова.
В октябре 1999 г. был включен в федеральный список кандидатов в депутаты Государственной думы III созыва, выдвинутый избирательным блоком "Отечество - Вся Россия" (№11 в Центрально-Сибирской региональной группе), который возглавляли бывший премьер-министр РФ Евгений Примаков и Юрий Лужков.
В ноябре 1999 г. вошел в федеральный список кандидатов в депутаты Госдумы III созыва от избирательного блока Межрегионального движения "Единство" (лидер - Сергей Шойгу, позднее на основе блока была создана партия "Единая Россия"), был №1 в региональной группе Кемеровской области. Выбыл из обоих списков до их регистрации.
В 1999-2003 гг. - заместитель губернатора Кемеровской области Амана Тулеева по международным отношениям и связям с общественностью. В 2000 г. был его доверенным лицом на досрочных выборах президента РФ. В январе-марте 2000 г. - временный член Центральной избирательной комиссии РФ с совещательным голосом, представитель кандидата Тулеева.
В 2002–2005 гг. заместитель секретаря политсовета кемеровского регионального отделения партии "Единство и Отечество" (с декабря 2003 г. - "Единая Россия").
С 2003 по 2005 г. занимал должность заместителя генерального директора открытого акционерного общества (ОАО) "Объединенная угольная компания "Южкузбассуголь".
7 декабря 2003 г. баллотировался в депутаты Госдумы РФ IV созыва по списку политической партии "Единство и Отечество" - Единая Россия" (№9 в Центрально-Сибирской региональной группе). В Думу избран не был.
В 2005 г. перешел на работу в Администрацию президента РФ. В 2005-2012 гг. занимал должности главного советника, начальника департамента, заместителя начальника Управления президента по внешней политике (начальник Управления - Александр Манжосин).
С 6 ноября 2012 г. по 11 апреля 2014 г. руководил Канцелярией президента РФ Владимира Путина (сменил на этом посту Николая Константинова).
С 11 апреля 2014 г. – советник президента РФ Владимира Путина, курирует вопросы организации международных мероприятий с участием главы государства. 13 июня 2018 г. переназначен на эту должность.
Согласно опубликованной декларации о доходах и расходах, в 2013 г. заработал 6 млн 631 тыс. руб., супруга – 26 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2014 г. составила 5 млн 992 тыс. руб., супруги – 45 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 7 млн 568 тыс. руб., супруги – 1 млн 45 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 5 млн 415 тыс. руб., супруги – 45 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 5 млн 329 тыс. руб., супруги – 62 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 5 млн 985 тыс. руб., супруги – 26 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 6 млн 816 тыс. руб., супруги – 22 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2020 г. составила 7 млн 374 тыс. руб., супруга доходов не задекларировала.
Сумма декларированного дохода за 2021 г. составила 9 млн 215 тыс. руб., супруги - 51 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ I класса (2012).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Дружбы (2008), Почета. Отмечен Почетными грамотами президента РФ (2011) и правительства РФ (2008), дважды - благодарностью президента РФ (2010, 2015).
Соавтор (вместе с Владимиром Катальниковым) книги "Уголь и шахтеры в государстве российском. Экономический и социально-исторический аспекты" (2004).