Родился 29 октября 1966 г. в г. Воронеже.
В 1988 г. окончил Воронежское высшее военное авиационное инженерное училище, в 2001 г. - Воронежский государственный университет по специальности "юриспруденция", в 2006 г. - Воронежский институт экономики и социального управления по специальности "государственное и муниципальное управление". В 2017 г. завершил обучение в магистратуре Академии государственной противопожарной службы МЧС России. В 2009 и 2012 гг. учился на курсах повышения квалификации в Академии гражданской защиты МЧС России.
С августа 1988 г. по август 1989 г. служил помощником начальника штаба 936-го отдельного батальона аэродромно-технического обеспечения Сызранского высшего военного авиационного училища летчиков.
В 1989-1992 гг. был помощником начальника отдела кадров Сызранского авиационного училища.
С февраля 1992 г. по декабрь 1999 г. - начальник отдела кадров и строевой части 146-й отдельной мобильной механизированной бригады гражданской обороны. В 1995 г. принимал участие в вооруженном конфликте на территории Чеченской Республики, в 1998 г. во время грузино-югоосетинского конфликта участвовал в организации отправки колонны с гуманитарной помощью на территорию Южной Осетии.
С декабря 1999 г. по август 2000 г. - старший помощник начальника штаба по кадрам и строевой части 847-го спасательного центра МЧС России.
С августа 2000 г. по декабрь 2003 г. являлся начальником управления по делам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций Железнодорожного района Воронежа - заместителем начальника гражданской обороны Воронежа.
С декабря 2003 г. по январь 2005 г. - помощник начальника главного управления Министерства РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий по Воронежской области. Курировал вопросы организации службы безопасности военной и внутренней службы.
В 2005-2008 гг. - начальник управления кадров, воспитательной работы, профессиональной подготовки и психологического обеспечения ГУ МЧС России по Воронежской области.
С января 2008 г. по май 2010 г. - первый заместитель начальника главного управления МЧС России по Воронежской области.
С мая 2010 г. по апрель 2016 г. - начальник главного управления МЧС России по Воронежской области.
С апреля 2016 г. по август 2017 г. занимал должность первого заместителя начальника Центрального регионального центра МЧС России, исполнял обязанности начальника центра.
В 2017-2018 гг. - директор департамента кадровой политики МЧС России.
С августа 2018 г. являлся и. о. заместителя главы МЧС. 1 мая 2019 г. был назначен заместителем руководителя МЧС - главным государственным инспектором РФ по пожарному надзору.
С 2019 г. Игорь Кобзев возглавляет Иркутскую область.
12 декабря 2019 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио губернатора региона (сменил на посту Сергея Левченко).
13 сентября 2020 г. в ходе прямых выборов был избран губернатором Иркутской области (в выборах участвовал в порядке самовыдвижения). За него проголосовали 60,79% избирателей. Второе место занял кандидат от КПРФ, депутат Госдумы Михаил Щапов (25,50%). 18 сентября того же года Игорь Кобзев официально вступил в должность.
14 сентября 2025 г. вновь победил на выборах губернатора Иркутской области (был выдвинут "Единой Россией"), получив в свою поддержку 60,79% голосов избирателей. Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ, первый заместитель председателя комитета Госдумы по энергетике и бывший глава региона Сергей Левченко, набрал 22,65%. 19 сентября того же года Игорь Кобзев принес присягу.
Входит в состав Государственного совета РФ.
Член Всероссийской политической партии "Единая Россия" (с декабря 2021 г.). Входит в состав генерального совета партии, секретарь иркутского регионального отделения "Единой России" (с января 2022 г.).
Генерал-полковник внутренней службы (2019).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени.