Родился 14 октября 1925 г. в Киеве (Украинская ССР, ныне - Украина). С детства проявлял интерес к поэзии.
В 1945 г. поступил в Литературный институт им. М. Горького, в котором учился в одно время с Расулом Гамзатовым.
В 1947 г., в разгар сталинской кампании по "борьбе с космополитизмом", Коржавин был арестован и через восемь месяцев осужден по статье Уголовного кодекса СССР как "социально опасный элемент". Отбывал ссылку в Новосибирской области (1948-1951) и Караганде (Казахская ССР, ныне - Республика Казахстан; 1951-1954), где окончил горный техникум. По амнистии получил возможность вернуться в Москву, в 1956 г. был реабилитирован. Восстановился в Литературном институте, который окончил в 1959 г.
Во время обучения Коржавин начал заниматься переводческой деятельностью и публиковать собственные стихотворения в журналах. Известность ему принесла публикация подборки стихов в альманахе "Тарусские страницы" (1961 г.). В 1963 г. вышел первый и единственный легально опубликованный в СССР сборник Коржавина "Годы". В 1967 г. Московский драматический театр имени К. С. Станиславского (ныне - "Электротеатр Станиславский") поставил его пьесу "Однажды в двадцатом".
В 1950-1960-е гг. многие работы Коржавина распространялись в самиздате. Поэт выступил в защиту арестованных "узников совести" - литераторов Юлия Даниэля и Андрея Синявского, правозащитников Юрия Галанскова и Александра Гинзбурга - что привело к фактическому запрету на публикацию его произведений.
В 1973 г., после допроса в прокуратуре, Коржавин подал заявление на выезд из страны, объяснив свой шаг "нехваткой воздуха для жизни". Эмигрировал в США, где продолжил литературную деятельность. В 1976 г. во Франкфурте-на-Майне (ФРГ) вышел сборник его стихов "Времена", в 1981 г. там же - сборник "Сплетения". В эмиграции Коржавин создал еще две пьесы - "Жить хочется (Однажды в двадцать втором)" и "Различные точки зрения" - которые никогда не предлагал для постановки, а также большое число публицистических работ. Входил в состав редколлегии литературного журнала русской эмиграции "Континент".
Начиная с первых лет перестройки, Коржавин несколько раз приезжал в Москву, где проходили его авторские вечера и издавались книги - стихотворные сборники "Письмо в Москву" (1991), "Время дано" (1992), "К себе" (2000), "Стихи и поэмы" (2004), "На скосе века" (2008), книга критических статей "В защиту банальных истин" (2003), книга воспоминаний "В соблазнах кровавой эпохи" (2005).
Наум Коржавин скончался 22 июня 2018 г. в г. Чапел-Хилл (шт. Северная Каролина, США) на 93-м году жизни. Урна с прахом захоронена 28 сентября 2018 г. в Москве на Ваганьковском кладбище.
Лауреат премий "Большая книга" (специальная номинация "За вклад в литературу", 2006), "Венец" (2015) и "Поэт" (2016).
Был дважды женат. Последние годы жизни Коржавин провел в семье дочери от первого брака - Елены Рубинштейн - в штате Северная Каролина (США).