Родился 17 сентября 1962 г. в пос. Мамонтовке Пушкинского района Московской области в семье сотрудника Министерстве иностранных дел СССР.
В 1984 г. с отличием окончил скандинавское отделение кафедры международных отношений Московского государственного института международных отношений МИД СССР (ныне МГИМО МИД РФ; специалист по международным отношениям со знанием иностранного языка), в 1991 г. - факультет повышения квалификации Дипломатической академии МИД СССР.
Кандидат юридических наук. В 2003 г. в Дипломатической академии МИД России защитил диссертацию на тему "Концепция развития международного права в области борьбы с ядерным терроризмом".
После окончания вуза по распределению был зачислен в центральный аппарат МИД СССР. Был переводчиком, переводчиком-синхронистом, занимал должность референта отдела скандинавских стран. В 1984 г. был направлен в первую заграничную командировку в г. Гетеборг (Швеция), где находился до 1988 г. Затем вернулся в Москву.
В 1991 г. был направлен в Стокгольм, где работал в посольстве СССР/РФ третьим, вторым секретарем, советником посольства.
В 1995 г. Константин Косачев вернулся в Москву, в центральный аппарат МИД, где возглавил отдел Финляндии и Швеции. Затем занимал должность заместителя директора второго Европейского департамента министерства (курировал североевропейское направление).
В мае 1998 г. был назначен советником по международным вопросам премьер-министра РФ Сергея Кириенко. С августа 1998 г. работал помощником по международным делам председателя правительства Евгения Примакова. После того как в мае 1999 г. правительство возглавил Сергей Степашин, занял пост заместителя руководителя секретариата премьер-министра. Принимал участие в ряде международных конференций по вопросам европейской безопасности и разоружения.
В ходе предвыборной кампании в Госдуму в 1999 г. возглавлял секретариат руководителя избирательного блока "Отечество - Вся Россия" (ОВР) Евгения Примакова.
С 1999 по 2012 г. - депутат Государственной думы РФ III-VI созывов.
Был избран в Госдуму РФ III созыва 19 декабря 1999 г. по списку "Отечество - Вся Россия". В Думе стал заместителем руководителя фракции ОВР Евгения Примакова. В 2001 г., после ухода Примакова из нижней палаты парламента, Константин Косачев занял пост первого заместителя руководителя фракции ОВР Вячеслава Володина. Одновременно в 2000-2003 гг. был заместителем председателя комитета Госдумы по международным делам Дмитрия Рогозина.
Входил в состав парламентской комиссии по оказанию содействия Союзной Республике Югославии в преодолении последствий агрессии Организации Североатлантического договора. Был также членом комиссии по вопросам выполнения договоров между РФ и США о дальнейшем сокращении и ограничении стратегических наступательных вооружений (Договор СНВ-2) и об ограничении систем противоракетной обороны (Договор по ПРО), а также Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний (ДВЗЯИ) и заключения нового соглашения о дальнейшем сокращении и ограничении стратегических наступательных вооружений (Договор СНВ-3).
7 декабря 2003 г. был избран депутатом Госдумы РФ IV созыва по списку партии "Единство и Отечество" - Единая Россия" (с декабря 2003 г. - "Единая Россия"). В 2003-2007 гг. был членом партийной фракции, возглавлял думский комитет по международным делам.
2 декабря 2007 г. вновь избран в Госдуму РФ V созыва по списку "Единой России" (на выборах входил в региональную группу от Чувашской Республики под вторым номером). В Думе был членом фракции "Единая Россия", председателем комитета по международным делам.
Занимал пост заместителя секретаря президиума генсовета "Единой России" Вячеслава Володина (курировал, в частности, вопросы международной политики и межпартийных связей).
4 декабря 2011 г. стал депутатом Госдумы РФ VI созыва по списку "Единой России" от Чувашской Республики (баллотировался под вторым номером списка). Входил в партийную фракцию. С января по март 2012 г. - заместитель председателя думского комитета по международным делам Алексея Пушкова.
Одновременно в 2004-2012 гг. – руководитель делегации Госдумы в Постоянной делегации Федерального собрания РФ в Парламентской ассамблее Совета Европы (ПАСЕ), заместитель председателя ПАСЕ, координатор депутатской группы по связям с парламентом Королевства Швеции.
Депутатские полномочия Константина Косачева были прекращены досрочно 6 марта 2012 г. в связи с переходом на госслужбу.
С 5 марта 2012 г. по 22 декабрь 2014 г. он занимал пост руководителя Федерального агентства по делам СНГ, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничеству (Россотрудничество). Сменил во главе агентства Фарита Мухаметшина. Являлся также специальным представителем президента РФ по связям с государствами - участниками СНГ.
С декабря 2014 г. - член Совета Федерации (СФ) РФ (сенатор). С 22 декабря 2014 г. по 21 сентября 2015 г. представлял в верхней палате парламента исполнительный орган власти Чувашской Республики, с 21 сентября 2015 г. является представителем исполнительной власти Республики Марий Эл (вновь назначен 23 сентября 2022 г.).
С 25 декабря 2014 г. по 17 марта 2021 г. - председатель комитета СФ по международным делам (переизбирался 30 сентября 2015 г.; 27 сентября 2017 г.).
22 марта 2016 г. был избран заместителем председателя Межпарламентского союза.
С 15 января 2020 г. входил в рабочую группу по подготовке предложений о внесении поправок в Конституцию РФ, образованную распоряжением президента России Владимира Путина.
С 17 марта 2021 г. - заместитель председателя Совета Федерации РФ Валентины Матвиенко. Сменил на посту вице-спикера Ильяса Умаханова.
С 23 марта 2022 г. - сопредседатель комиссии по парламентскому расследованию обстоятельств, связанных с созданием американскими специалистами биологических лабораторий на территории Украины.
С декабря 2024 г. - координатор группы международных наблюдателей от Межпарламентской ассамблеи (МПА) СНГ.
Заведующий кафедрой международных отношений Дипломатической академии МИД России.
Входит в состав высшего совета Всероссийской политической партии "Единая Россия". Член комиссии генсовета "Единой России" по международному сотрудничеству и поддержке соотечественников за рубежом (с ноября 2021 г.). Координатор направления "Внешняя и оборонная политика" программной комиссии "Единой России" (с февраля 2022 г.).
Член Совета при президенте РФ по межнациональным отношениям (с 2023 г.).
Президент российского парламентского Европейского клуба.
Награжден орденами Александра Невского (2018), Дружбы (2003), "За заслуги перед Отечеством" IV и III степеней (2006, 2022), Почета (2012), медалью П. А. Столыпина II степени (2018).
Командор ордена Полярной звезды (Швеция; 2004), награжден орденом Офицерского Креста Венгерской Республики, орденами Дружбы (Южная Осетия; 2009) и Почета (Южная Осетия; 2016) и др.
Действительный государственный советник РФ II класса (1999).
Имеет ранг чрезвычайного и полномочного посла (2009).
Почетный доктор Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова (2007), Института международного права и экономики им. А. С. Грибоедова (2008). Член попечительского совета Российского совета по международным делам, попечительского совета МГИМО.
Владеет шведским и английским языками.