Родился 22 февраля 1896 г. (10 февраля 1896 г. - по старому стилю) в слободе Большая Мартыновка Сальского округа Области войска Донского (ныне - на территории Мартыновского района Ростовской обл. РФ) в крестьянской семье.
В 1924 г. окончил Ленинградские повторные курсы среднего командного состава, затем - Кавалерийские курсы усовершенствования среднего (1928) и старшего (1934) комсостава (также в Ленинграде, ныне - Санкт-Петербург). В 1941 г. стал выпускником курсов усовершенствования начсостава при Академии Генерального штаба РККА им. К. Е. Ворошилова (ныне - Военная академия Генерального штаба Вооруженных сил РФ, Москва).
С 1915 г. служил в Русской императорской армии. Участвовал в Первой мировой войне, воевал на Юго-Западном фронте. Командовал взводом, имел чин старшего унтер-офицера.
После Октябрьской революции 1917 г., в 1918 г., добровольно вступил в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии (РККА). В ходе Гражданской войны 1917-1922 гг. служил помощником командира эскадрона дивизии 1-й Конной армии. Участвовал в боях против Вооруженных сил Юга России - частей генералов Константина Мамантова, Андрея Шкуро и Антона Деникина. Позднее принимал участие в советско-польской войне 1919-1921 гг, а также в боях с финской армией. Был несколько раз ранен - в Старом Осколе, под Ростовом, под Новоград-Волынским и подо Львовом.
С 1921 г. - член Российской (с 1925 г. - Всесоюзной) коммунистической партии (большевиков).
С ноября 1922 г. по февраль 1926 г. командовал 1-м эскадроном 23-го Царицынского (с 1925 г. - Сталинградского) кавалерийского полка. С февраля 1926 г. исполнял обязанности начальника полковой школы, с октября 1928 г. - служил начальником этой школы.
В период с апреля 1931 г. по сентябрь 1932 г. занимал должность помощника командира 23-го Сталинградского кавполка.
С 13 сентября 1932 г. по июнь 1937 г. служил командиром и военкомом 19-го Манычского краснознаменного кавполка (с февраля 1937 г. - 19-й Донской казачий Манычский краснознаменный полк).
В июне 1937 г. командовал 7-й кавалерийской Самарской краснознаменной дивизией имени Английского пролетариата.
С июня 1937 г. командовал 36-й кавалерийской дивизией, с апреля 1939 г. по 26 июля 1940 г. - 2-м кавалерийским корпусом имени СНК УССР. В сентябре 1939 г. в качестве командира этого корпуса (в составе Волочиской, затем - Восточной армейской группы, далее - 6-й армии Украинского фронта) участвовал в Польском походе РККА.
В июне 1940 г. получил звание генерал-лейтенанта.
В период с июля по октябрь 1940 г. являлся командующим Кавалерийской армейской группы Киевского особого военного округа.
С 22 июня по 20 сентября 1941 г. командовал созданной на базе Кавалерийской армейской группы 26-й армией. После начала Великой Отечественной войны армия вела тяжелые приграничные сражения в составе Юго-Западного фронта, участвовала в оборонительных боях на винницком направлении, Киевской операции 1941 г.
В октябре 1941 г. Федор Костенко был назначен заместителем командующего Юго-Западным фронтом Маршала Советского Союза Семёна Тимошенко (с сентября 1941 по июнь 1942 гг. Тимошенко также являлся главнокомандующим Западным и Юго-Западным направлениями).
Во время боев под Москвой (Елецкая наступательная операция, 6-16 декабря 1941 г.) Костенко возглавлял подвижную группу войск Юго-Западного фронта. Тогда было разгромлено несколько немецких дивизий, освобождены города Елец и Ефремов. За руководство операцией Костенко был удостоен ордена Ленина (27 марта 1942 г.).
С 18 декабря 1941 г. по апрель 1942 г. командовал Юго-Западным фронтом. Войска фронта участвовали в Курско-Обоянской (декабрь 1941 - январь 1942 гг.) и Барвенково-Лозовской (январь 1942 г.) операциях.
8 апреля 1942 г. пост командующего фронтом вновь занял маршал Тимошенко, генерал-лейтенант Костенко был назначен его заместителем.
В мае 1942 г. под Харьковом часть сил Юго-Западного фронта попала в окружение и была уничтожена немцами. РККА потеряла почти 171 тыс. человек убитыми и около 106 тыс. человек ранеными. Со своими бойцами в "котле" оказался и Федор Костенко. 26 мая 1942 г. генерал-лейтенант погиб в бою при прорыве из окружения. Более 73 лет место его гибели оставалось неустановленным.
Весной 2016 г. в Балаклейском районе Харьковской обл. Украины, между селами Гусаровка и Лозовенька, поисковики обнаружили захоронение с останками двух советских военнослужащих. Экспертиза показала, что одним из них был генерал-лейтенант Костенко, вторым, предположительно, мог быть его адъютант - капитан Василий Петрович. После обращения внучки генерала, Тамары Костенко, президент РФ Владимир Путин принял решение о захоронении останков военачальника на Федеральном мемориальном кладбище Минобороны РФ.
Прах Федора Костенко был передан России украинской стороной. 18 июня 2018 г. прощание с ним состоялось в Ростове-на-Дону в гарнизонном доме офицеров. 20 июня 2018 г. останки военачальника будут с почестями захоронены на Федеральном военном мемориальном кладбище в Мытищинском районе Московской обл.
Помимо ордена Ленина, Федор Костенко был награжден орденом Красного Знамени (1928), двумя орденами Красной Звезды, медалью "XX лет РККА".
Был женат на Василисе Пантелеевне Костенко, воспитал четверых детей - Ульяну (род. 1914), Петра (род. 1923), Раду (род. 1925) и Будимира (род. 1925). Петр Костенко был военным летчиком, 27 сентября 1942 г. в звании старшего сержанта погиб под Сталинградом (ныне - Волгоград).