Родился 17 апреля 1973 г. в г. Одессе Украинской ССР (ныне Украина).
В 1995 г. с отличием окончил Одесский государственный (ныне национальный) университет им. И. И. Мечникова по специальности "правоведение".
По окончании университета получил свидетельство о праве на занятие адвокатской деятельностью, стал членом Одесской областной коллегии адвокатов. Работал в различных адвокатских компаниях.
С 2000 г. - член Международной ассоциации адвокатов (IBA). Был заместителем председателя подкомитета по наземной транспортировке комитета по морскому и транспортному праву IBA.
В 2005 г. основал и возглавил адвокатскую компанию "Право". Занимал пост ее директора до избрания в Верховную раду в 2019 г.
С 2009 г. - член Одесской областной коллегии адвокатов. В 2012 г. был избран членом Совета адвокатов Одесской области, впоследствии занял пост заместителя председателя Совета.
В октябре 2010 г. участвовал в выборах депутатов Одесского городского совета VI созыва от партии "Фронт перемен" (лидером партии являлся Арсений Яценюк), избран не был.
В 2013-2016 гг. являлся председателем комитета по международным отношениям Национальной ассоциации адвокатов Украины.
21 июля 2019 г. избран депутатом Верховной рады Украины IX созыва по списку пропрезидентской партии "Слуга народа" (баллотировался под №108 в партийном списке), с 10 октября 2019 г. является членом этой партии. 29 августа 2019 г. занял пост заместителя председателя парламентского комитета по вопросам правовой политики. С 4 сентября 2019 г. также являлся председателем подкомитета по вопросам исполнения решений Европейского суда по правам человека и альтернативного разрешения споров этого комитета. 14 января 2020 г. возглавил комитет по вопросам правовой политики вместо Ирины Венедиктовой, которая досрочно сложила депутатские полномочия в связи с назначением на должность врио директора Государственного бюро расследований Украины.
В мае 2020 г. был включен в состав украинской делегации в Контактной группе по урегулированию ситуации в Донбассе в качестве представителя Украины в рабочей подгруппе по политическим вопросам. В ноябре 2021 г. был назначен врио первого заместителя главы украинской делегации в Контактной группе, в дальнейшем фактически исполнял обязанности главы делегации.
В 2021 г. принимал участие в конкурсе на пост главы Специализированной антикоррупционной прокуратуры (САП) Украины, но не прошел собеседование.
В феврале - марте 2022 г., после начала Россией специальной военной операции на Украине, Андрей Костин принимал участие в российско-украинских переговорах в Белоруссии и Турции, посвященных урегулированию ситуации.
В апреле 2022 г., согласно указу президента Украины Владимира Зеленского, вошел в состав украинской делегации для переговоров с Россией "по подготовке и согласованию проекта договора о гарантиях безопасности".
27 июля 2022 г. Верховная рада IX созыва дала согласие президенту Украины Владимиру Зеленскому на назначение Андрея Костина генеральным прокурором страны. За соответствующее решение было отдано 299 голосов депутатов при 226 необходимых. 28 июля 2022 г. президент Украины Владимир Зеленский подписал указ о его назначении. На посту генпрокурора Андрей Костин сменил Ирину Венедиктову, отправленную в отставку 19 июля 2022 г.
Член Ассоциации юристов Украины, Союза адвокатов Украины, соучредитель и член правления Одесского дипломатического клуба.
Согласно Единому государственному реестру деклараций должностных лиц Украины, доход Андрея Костина за 2020 г. составил более 508 тыс. гривен (около 14 тыс. долларов США по курсу на июль 2022 г.), его супруги - 117 тыс. гривен (более 3 тыс. долларов).
Заслуженный юрист Украины (2021).
Женат, имеет троих детей.