Родился 10 сентября 1948 г. в Москве.
В 1964-1966 гг. учился в вечерней школе, одновременно работал испытателем в Научно-исследовательском институте кварцевой промышленности.
В 1967-1968 гг. обучался в Московском инженерно-строительном институте (ныне Московский государственный строительный университет), но не окончил его.
В 1973 г. окончил Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Выпускник курса Андрея Гончарова.
После окончания ГИТИСа был принят в Московский академический театр им. Вл. Маяковского, где художественным руководителем был его педагог Андрей Гончаров. Играл в спектаклях: "Смотрите, кто пришел!" по пьесе Владимира Арро, "Чайка" по произведению Антона Чехова, "Трамвай "Желание" по пьесе Теннесси Уильямса, "Бег" по произведениям Михаила Булгакова, "Карамазовы" по роману Федора Достоевского "Братья Карамазовы", "Круг" по пьесе Сомерсета Моэма, "Долгожданный" по драме Афанасия Салынского, "Кукольный дом" по пьесе Генрика Ибсена и др. Исполняет роли в нескольких спектаклях текущего репертуара. Среди них: "Мертвые души" и "Женитьба" по произведениям Николая Гоголя, "Пигмалион" по пьесе Бернарда Шоу, "Плоды просвещения" по произведению Льва Толстого, "Кавказский меловой круг" по пьесе Бертольта Брехта и др.
Принимал участие в ряде международных театральных проектов. В их числе: "Орестея" по трилогии Эсхила (1990, в постановке Франсуа Роша; 1994, в постановке Петера Штайна), "В ожидании Годо" по пьесе Сэмюэла Беккета (1992, в постановке Франсуа Роша), "Арт" по комедии Ясмины Реза (1998, в постановке Патриса Кербрата) и др.
Игорь Костолевский широко известен в качестве киноактера. Дебютировал в эпизодической роли студента в телефильме Бориса Ниренбурга "Семья как семья" (1970). Широкую популярность ему принесла роль декабриста Ивана Анненкова в историко-романтическом фильме Владимира Мотыля "Звезда пленительного счастья" (1975). Среди других известных работ: рядовой Алик Полухин в приключенческой комедии "Весенний призыв" (1976, режиссер Павел Любимов), Евгений Столетов в телесериале "И это все о нем" (1977, Игорь Шатров), учитель астрономии Марин Мирою в трагикомедии "Безымянная звезда" (1978, Михаил Козаков), археолог в комедии "Гараж" (1979, Эльдар Рязанов), разведчик Андрей Бородин в политическом детективе "Тегеран-43" (1980, Александр Алов и Владимир Наумов), актер Игорь Волошин в драме "Законный брак" (1985, Альберт Мкртчян) и др. Последняя роль к настоящему времени - чиновник Виталий Рыбаков в детективном телесериале "Преступление" (2016, режиссер Максим Василенко). В общей сложности Игорь Костолевский снялся в более чем пятидесяти фильмах и сериалах.
Принимал участие в дублировании фильмов "Надо убить эту любовь" (1972, режиссер Януш Моргенштерн, Польша), "Кружевница" (1977, Клод Горетта, Франция - Швейцария - ФРГ), "Тэсс" (1979, Роман Полански, Франция - Великобритания), а также мультфильма "Маленький принц" (2015, Марк Осборн, Франция - Канада - США).
С 2017 г. является президентом театральной премии и фестиваля "Золотая маска".
Член Союза кинематографистов РФ, Союза театральных деятелей РФ и Российской академии кинематографических искусств "Ника".
Народный артист РФ (1995).
Награжден орденами Почета (2004), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2009), Дружбы (2019).
Лауреат премии Ленинского комсомола (1978, за роль в телесериале "И это все о нем") и Государственной премии РФ в области литературы и искусства за 1999 г. (за роль Подколёсина в спектакле Театра на Покровке "Женитьба").
Лучший актер 1986 г. по опросу журнала "Советский экран".
Лауреат XVIII театрального фестиваля "Норвежская пьеса на московской сцене" в номинации "Лучший актер" за исполнение роли Петера Стокмана в спектакле "Враг народа" (2014). Отмечен Международной премией К. С. Станиславского (2016).