Получил высшее военно-морское образование. Позднее окончил Военно-дипломатическую академию Советской армии (ныне - Военная академия Министерства обороны РФ) в Москве.
После выпуска из академии был военным дипломатом - в частности, в 2004 г. являлся военным атташе посольства РФ в Греции.
Затем продолжил службу в Главном управлении (ГУ, ранее ГРУ, Главное разведывательное управление) Генерального штаба ВС РФ. Занимал пост заместителя начальника управления. В должности одного из руководителей российской военной разведки принимал непосредственное участие в руководстве операцией ВС РФ в Сирии.
28 декабря 2016 г. был включен в санкционный список США, составленный в связи с якобы имевшей место со стороны РФ "злонамеренной киберактивностью". Позднее, в марте 2018 г., Министерство торговли США включило Игоря Костюкова в свой санкционный список, связанный с якобы "продолжающейся дестабилизационной деятельностью России". 21 января 2019 г. Костюков был включен в черный список Европейского союза в рамках нового санкционного режима в отношении ответственных, по мнению ЕС, "за производство и применение химоружия". 22 октября 2020 г. Евросоюз и Великобритания ввели в отношении Игоря Костюкова санкции в связи с предполагаемым "русским следом" во взломе компьютерных систем Бундестага в 2015 г.
По данным российских СМИ, после смерти 21 ноября 2018 г. начальника ГУ Генштаба ВС РФ - заместителя начальника Генштаба ВС РФ генерал-полковника Игоря Коробова Игорь Костюков был назначен временно исполняющим обязанности начальника ГУ.
10 декабря 2018 г. источник в военном ведомстве сообщил ТАСС, что начальником Главного управления Генштаба ВС РФ был назначен Игорь Костюков. Впервые в современной истории начальником российской военной разведки стал военный моряк.
Адмирал (2019).
Герой Российской Федерации (2017). Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней, Александра Невского, Мужества, "За военные заслуги", Почета, медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени, медалью "За отвагу" и др.