Родился 29 августа 1975 г. в п. Первомайском Алтайского края в семье учителей.
В 1998 г. окончил факультет радиотехники и электроники Новосибирского государственного технического университета по специализации "конструирование и технология электронных средств", в 2002 г. - Новосибирскую государственную академию экономики и управления по специальности "финансы и кредит".
С 1998 по 2009 г. работал в Горно-Алтайском филиале ОАО "Сибирьтелеком": в 1998-2002 гг. - инженером связи, в 2002-2007 гг. - помощником директора, в 2007-2009 гг. - заместителем директора филиала по коммерческим вопросам. В июне 2008 г. был назначен заместителем генерального директора ОАО "Сибирьтелеком" - директором Горно-Алтайского филиала компании.
С ноября 2009 г. по апрель 2011 г. возглавлял Омский филиал ОАО "Сибирьтелеком".
1 апреля 2011 г. компания "Сибирьтелеком" прекратила свою деятельность в результате присоединения к ОАО "Ростелеком". В том же месяце Максим Кудрявцев был назначен директором Омского филиала "Ростелеком".
В июне 2011 г. занял пост вице-президента ОАО "Ростелеком" - директором макрорегионального филиала "Сибирь" (объединяет 11 сибирских отделений), в 2015 г. – вице-президентом ПАО "Ростелеком". Занимал пост до 2016 г.
В 2012 г. стал председателем координационного совета по информационным ресурсам, технологиям и связи Межрегиональной ассоциации "Сибирское соглашение".
В 2015-2016 гг. - депутат Законодательного собрания Новосибирской области VI созыва на непостоянной основе. Был избран 13 сентября 2015 г. по списку регионального отделения партии "Единая Россия" (возглавлял территориальную группу №2). В заксобрании был заместителем председателя комитета по транспортной, промышленной и информационной политике. Депутатские полномочия сложил досрочно 27 октября 2016 г.
В мае 2016 г. участвовал в предварительном внутрипартийном голосовании (праймериз) "Единой России" по отбору кандидатов в депутаты Госдумы РФ по Центральному одномандатному округу Новосибирской области. Занял первое место, набрав 60,27% голосов.
В 2016-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. 18 сентября 2016 г. избран от "Единой России" по Центральному одномандатному избирательному округу №136 (Новосибирская область). Получил 36,15% голосов, его ближайший соперник от ЛДПР Дмитрий Савельев – 21,19%%. В нижней палате парламента вошел в состав партийной фракции. Заместитель председателя комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи.
С апреля 2022 г. по апрель 2024 г. - заместитель губернатора Новосибирской области (глава региона - Андрей Травников).
16 апреля 2024 г. Максим Кудрявцев был избран мэром Новосибирска (за его кандидатуру проголосовали 40 из 45 депутатов городского парламента).
Удостоен благодарности президента РФ (2012).
