Родился 12 апреля 1949 г. в селе Подрезково Химкинского района Московской области (ныне в черте г. Химки).
После окончания школы Юрий Куклачев работал печатником в типографии "Молодая гвардия". Занимался в народном цирке при Доме культуры "Красный Октябрь" под руководством педагога Михаила Зингера. В 1967 г. принял участие в концерте на арене Московского цирка на Цветном бульваре. В том же году Юрий Куклачев стал лауреатом Всесоюзного смотра художественной самодеятельности и был приглашен для дальнейшего обучения в Государственное училище циркового и эстрадного искусства. В 1971 г. окончил его по специальности "клоун-пародист-акробат". Выпускник группы педагога Николая Кисса. В 1984 г. получил диплом Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС) по специальности "театральный критик".
В 1971-1990 гг. Юрий Куклачев был артистом "Союзгосцирка". Первоначально выступал под псевдонимом Василек в образе клоуна-скомороха, показывал трюки и репризы. В середине 1970-х гг. начал исполнять номера с участием домашних кошек, которых сам дрессировал. Широкую известность получили его номер "Кот и повар" и программа "Цирк в моем багаже".
В 1990 г. московское руководство выделило Юрию Куклачеву помещение под собственный театр в здании бывшего кинотеатра "Призыв" - первый в мире с участием дрессированных кошек. В 2005 г. театр получил статус государственного (полное наименование с 2011 г. - Государственное бюджетное учреждение культуры г. Москвы "Театр кошек Куклачева"). Среди его спектаклей разных лет: "Похитители кошек", "Кошки из Вселенной", "Королева кошек", "Кот в сапогах", "Олимпиада кота Бориса", "Кошкин дом", "Ледяная фантазия", "Мяугли" и др.
12-14 апреля 2024 г. в подмосковном "Вегас сити холле" пройдет эстрадно-цирковое шоу "Самый добрый клоун: жемчужная нить жизни", приуроченное к 75-летию Юрия Куклачева.
На протяжении своей карьеры Юрий Куклачев гастролировал во многих странах мира.
В 2016-2021 гг. входил в состав общественного совета при Федеральной службе исполнения наказаний.
Соучредитель Регионального общественного фонда содействия культурному и духовному воспитанию подрастающего поколения имени Юрия Куклачева (2004).
Член Союза писателей России. Автор и соавтор ряда книг. В их числе: "Мои друзья - кошки" (1981), "Самый обычный сундучок" (1988), "Юрий Куклачев и его 120 кошек" (1998), "От слона до муравья с Дмитрием и Юрием Куклачевыми" (2017).
Юрий Куклачев исполнил роль Ивана Ивановича в художественном музыкальном телефильме "Выше Радуги" (1986, режиссер Георгий Юнгвальд-Хилькевич).
Народный артист РСФСР (1986).
Награжден орденами Дружбы (1994) и Почета (2019). Лауреат премии Ленинского комсомола (1980).
Почетный профессор Московского государственного института культуры и Белорусского государственного университета культуры и искусств.
Женат. Супруга - Елена Куклачева (род. 1948), сотрудница Театра кошек. Дети - Дмитрий (род. 1975, заслуженный артист РФ), Владимир (род. 1983) и Екатерина (род. 1980) - также работают в этом театре.
Жизни и творчеству Юрия Куклачева посвящены документальные фильмы "С улыбкой доброй" (1980, режиссер Юрий Дубравин) и "Кот и клоун" (1984, Сергей Вологдин).