Родился 16 июня 1954 г. в Мурманске в семье капитана II ранга, впоследствии - преподавателя морского училища Анатолия Ивановича Курехина (1920-1974).
Окончил школу в Евпатории, с детства учился игре на фортепиано, выступал в эстрадном оркестре евпаторийского дома культуры.
В 1971 г. переехал с родителями в Ленинград (ныне - Санкт-Петербург), где поступил в Институт культуры им. Н. К. Крупской (ныне - Санкт-Петербургский государственный институт культуры), учился на разных музыкальных отделениях вуза, однако его не закончил.
В первой половине 1970-х гг. играл на клавишных в группах "Пост" и "Большой железный колокол", выступал с джазовым ансамблем Анатолия Вапирова. Также подрабатывал дирижером милицейского хора, в составе филармонических оркестров Архангельска, Республики Коми.
В 1979 г. Сергей Курехин передал несколько аудиозаписей своих джазовых сочинений ведущему музыкальных передач русской службы Би-би-Си Леониду Фейгину. Сборник, названный Ways of Freedom ("Пути свободы"), был издан в Великобритании в 1981 г., принеся молодому музыканту известность за рубежом.
С 1981 г. Сергей Курехин сотрудничал с Борисом Гребенщиковым и его группой "Аквариум". Записал клавишные для альбомов "Треугольник", "Табу", "Радио Африка", "Аквариум", "Дети Октября", выступал с "Аквариумом" на концертах. Также в 1981 г. Курехин со знакомыми музыкантами создал свой первый концертный проект Crazy Music Orchestra. Его выступления были во многом импровизированными, сопровождались перфомансами.
В 1984 г. создал группу "Поп-механика", в которой в разные годы играли саксофонисты Игорь Бутман, Сергей Летов, гитаристы Григорий и Виктор Сологуб, Юрий Каспарян, Алексей Вишня и другие известные музыканты, в том числе Борис Гребенщиков и Виктор Цой. "Поп-механика" также была в первую очередь концертным проектом, чьи выступления сочетали в себе авангардистскую музыку, цирк и театр абсурда.
Широкую известность в СССР "Поп-механика" получила в годы перестройки после массовых концертов в Ленинградском дворце молодежи (1986) и выступления в телепередаче "Музыкальный ринг" (1987). В 1988 г. группа впервые выступила за границей - в Финляндии. Единственный альбом, изданный при жизни Курехина, был записан во время концерта в Нанте (Франция) в 1991 г.
В 1989 г. студия граммзаписи "Мелодия" выпустила первую официальную пластинку Сергея Курехина - "Полинезия: введение в историю", записанную совместно с Сергеем Летовым.
В 1980-х гг. Сергей Курехин также был сессионным музыкантом в группах "Кино", "Алиса", "Начальник Камчатки".
В 1990-1991 гг. популярностью пользовалась публицистическая телепередача ленинградского телевидения "Пятое колесо", выходившая на Ленинградском телевидении. В одной из программ 1991 г. вышел юмористический сюжет с элементами мистификации. Ведущий Сергей Шолохов вел диалог с Сергеем Курехиным, который с серьезным видом утверждал, что Владимир Ленин на самом деле был "грибом" и "радиоволной".
В 1991 г. Курехин снялся в главной роли и записал музыку к фильму "Лох - победитель воды" (режиссер - Аркадий Тигай). В 1992 г. был соавтором сценария и сыграл главные роли в абсурдистских фильмах Сергея Дебижева "Комплекс невменяемости" и "Два капитана 2".
В 1991-1995 гг., помимо выступлений с "Поп-механикой" работал над сольными музыкальными альбомами, среди которых при жизни были изданы только "Опера богатых" и "Воробьиная оратория", посмертно - "Введение в Поп-механику" и "Детский альбом" (записан совместно с Борисом Гребенщиковым). Также написал музыку к фильмам "Тюремный Романс" Евгения Татарского (1993), "Три сестры" Сергея Соловьева (1994), "Замок" Алексея Балабанова (1994), "Научная секция пилотов" Андрея И (1995).
В 1995 г., после знакомства с Эдуардом Лимоновым (Савенко) и Александром Дугиным вступил в созданную ими Национал-большевистскую партию (НБП, запрещена в РФ), был организатором петербургского городского штаба партии. В ходе избирательной кампании Александра Дугина, который баллотировался в Госдуму в 1995 г., музыкант организовал в Санкт-Петербурге концерт под лозунгом "Курехин в поддержку Дугина", ставший последним выступлением "Поп-механики".
9 июля 1996 г. Сергей Курехин скончался в Санкт-Петербурге. Причиной смерти стала саркома сердца. Похоронен на Комаровском кладбище.
Был дважды женат. Первая супруга – Татьяна Паршина. Вторая – Анастасия Фурсей. Дочери - Юлия (род. 1974), Елизавета (1984-1998), сын - Федор (род. 1994, режиссер).