Родился 18 января 1974 г. в г. Цхинвали Юго-Осетинской автономной области Грузинской ССР (ныне г. Цхинвал, Республика Южная Осетия).
В 1997 г. окончил медицинский факультет ульяновского филиала Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "лечебное дело", в 2008 г. - заочное отделение юридического факультета Ульяновского государственного университета.
Кандидат медицинских наук. В 2002 г. в Самарском государственном медицинском университете защитил диссертацию на тему "Нарушения эвакуаторной функции после резекции желудка по поводу осложненной язвенной болезни и их лечение".
С 1997 по 2010 г. работал врачом-хирургом в поликлиническом отделении Ульяновской городской больницы №2, затем в больнице скорой медицинской помощи Ульяновска. В этот же период преподавал на кафедре госпитальной хирургии медицинского факультета Ульяновского государственного университета.
В 2004-2008 гг. - депутат Законодательного собрания Ульяновской области III созыва. 5 декабря 2004 г. в ходе дополнительных выборов был избран от "Единой России" по Засвияжскому избирательному округу №14, получив 38% голосов избирателей. В 2005 г. вступил в партию "Родина", которая на следующий год вошла в состав партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь" (с 2009 г. – "Справедливая Россия", с 2021 г. - партия "Справедливая Россия - Патриоты - За правду"), был членом партийной фракции в заксобрании. Являлся заместителем председателя парламентского комитета по социальной политике и делам молодежи.
2 декабря 2007 г. баллотировался в Государственную думу РФ V созыва по списку партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь", был третьим номером в региональной группе №77 (Ульяновская область). По итогам выборов в Думу не прошел.
В 2008-2013 гг. - депутат Законодательного собрания Ульяновской области IV созыва. 2 марта 2008 г. был избран от "Справедливой России" по Засвияжскому избирательному округу №15, на выборах получил 32,42% голосов. В сентябре 2008 г. исключен из "Справедливой России" за участие в протестных акциях, организованных КПРФ. В дальнейшем был внепартийным депутатом. Входил в состав комитета заксобрания по государственному и муниципальному строительству и делам молодежи.
14 марта 2010 г. был выдвинут КПРФ на пост мэра Ульяновска (вступил в партию после окончания выборов). По итогам голосования занял второе место с результатом 27,84%. Мэром города был избран единоросс Александр Пинков (39,15%).
В 2010-2011 гг. – главный врач Ульяновской городской больницы №2.
В 2011-2013 гг. - главный врач Ульяновского областного клинического центра специализированных видов медицинской помощи им. Е. М. Чучкалова. С 2013 г. продолжал работать в клиническом центре в качестве врача-хирурга.
4 декабря 2011 г. баллотировался в Государственную думу РФ VI созыва по списку КПРФ, был вторым номером в региональной группе №66 (Ульяновская область). В Думу не прошел.
В 2013-2016 г. - депутат Законодательного собрания Ульяновской области V созыва. 8 сентября 2013 г. избран от КПРФ по Ленинскому одномандатному округу №14 (39,64%). Входил в состав комитета по социальной политике. Депутатские полномочия Алексея Куринного были досрочно прекращены 22 сентября 2016 г. в связи с избранием в Государственную думу РФ.
В ноябре 2014 г. был избран первым секретарем Ульяновского областного отделения КПРФ (сменил на этом посту Александра Кругликова).
18 сентября 2016 г. Алексей Куринный был выдвинут КПРФ кандидатом на выборы губернатора Ульяновской области. По итогам голосования занял второе место с результатом 25,46%. Главой региона стал действующий губернатор Сергей Морозов (от "Единой России"; 54,33%).
18 сентября 2016 г. он избран депутатом Государственной думы РФ VII созыва от КПРФ. Баллотировался по федеральному списку партии под четвертым номером в региональной группе №12 (Республика Татарстан, Ульяновская область), а также по Ульяновскому одномандатному округу №187. Был избран в Госдуму по одномандатному округу, набрав 35,48% голосов избирателей (второе место - Игорь Тихонов от "Единой России", 35,17%). В Думе стал членом партийной фракции, вошел в состав комитета по охране здоровья.
9 сентября 2018 г. на выборах в Законодательное собрание Ульяновской области VI созыва Алексей Куринный возглавлял список КПРФ. По итогам голосования партия заняла первое место (36,24%). После выборов Куринный отказался от мандата депутата регионального парламента.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Был избран 19 сентября 2021 г. по списку КПРФ. Был выдвинут по федеральному округу под 15-м номером общефедеральной части списка, однако после исключения из нее Павла Грудинина фактически занял 14-ю позицию в списке. С 12 октября 2021 г. - заместитель председателя комитета Госдумы по охране здоровья.
Врач-хирург высшей квалификационной категории.