Родился 16 сентября 1944 г. в Москве.
Выпускник Центральной музыкальной школы (учился у известного музыкального педагога Анны Артоболевской).
В 1960 г. стал лауреатом Всероссийского конкурса молодых пианистов, проходившего в Москве. В 1965 и 1968 гг. становился лауреатом международных конкурсов пианистов в Рио-де-Жанейро (Бразилия) и Монреале (Канада).
В 1968 г. с отличием окончил Московскую государственную консерваторию по классу фортепиано (его преподавателями были Генрих Нейгауз и Лев Наумов).
С 1968 г. по настоящее время занимается концертной деятельностью. В разные годы играл в оркестрах под управлением всемирно известных дирижеров: Давида Ойстраха, Геннадия Рождественского, Михаила Плетнева, Владимира Ашкенази, Эса-Пеки Салонена. Среди его партнеров по камерным ансамблям были такие музыканты как Наталия Гутман, Олег Каган, Александр Рудин.
Алексей Любимов является одним из ведущих специалистов по старинной музыке XVI-XVIII веков. В 1975-1982 гг. был руководителем ансамбля "Московский барочный квартет". В 1982 г. совместно с Татьяной Гринденко основал ансамбль "Академия старинной музыки". В 1995-1997 гг. руководил Ансамблем старинной музыки МГК. В разные годы исполнял произведения Иоаганна Себастьяна Баха, Вольфганга Моцарта, Йозефа Гайдна, Франца Шуберта, Иоганнеса Брама, Сергея Рахманинова, Белы Бартока и др. Но в то же время одним из первых в СССР начал интересоваться авангардом, минимализмом и электронной музыкой. В 1969-1974 гг. возглавлял собственный ансамбль "Музыка - XX век", впервые в стране исполнил произведения Джона Кейджа, Альфреда Шнитке, Карлхайнца Штокхаузена, Пьера Булеза и др.
С 1975 г. - солист Московской государственной академической филармонии.
Дискография Алексея Любимова насчитывает более 50 дисков.
В 1976-1978-х гг. участвовал в организации фестивалей авангардной музыки в Риге и Таллине, в 1988-1991 гг. был организатором и руководителем международного фестиваля современной музыки "Альтернатива" (Москва). В 2000-е гг. был членом жюри престижных конкурсов пианистов в Москве и других городах мира.
С 1990-х гг. был участником или художественным руководителем международных фестивалей в Санкт-Галлене (Швейцария), Зальцбурге и Локкенхаусе (Австрия).
После окончания консерватории работал в ней доцентом по классу камерного ансамбля. В 1997 г. выступил инициатором создания в консерватории факультета исторического и современного исполнительского искусства и до 2010 гг. был его деканом. Ныне является профессором кафедры клавишных инструментов факультета.
Помимо преподавания в МГК в 1998-2009 гг. был профессором по классу фортепиано в университете Моцартеум в Зальцбурге.
Народный артист РФ (2003).
Является коллекционером старинных и редких клавишных инструментов.