Родился 29 января 1960 г. в Москве. Его отец - Леонид Мамут - советский и российский юрист, был сотрудником Института государства и права Академии наук СССР, в 1993 г. участвовал в разработке Конституции РФ. Мать - Цицилия Мамут, адвокат.
В 1982 г. Александр Мамут окончил юридический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
После вуза работал по распределению юридическим консультантом в типографии. В 1990 г. создал юридическую фирму "АЛМ консалтинг". В 1991 г. стал одним из основателей банка "Бизнес и сотрудничество", который вскоре был переименован в банк "Империал" (прекратил деятельность в 1999 г.).
В 1993-1998 гг. был председателем правления банка "Компания по проектному финансированию" (прекратил работу в 2005 г.).
Также в 1993 г. стал одним из учредителей и акционеров сети розничных магазинов "Седьмой континент".
В 1998 г. был советником по экономическим вопросам в Администрации президента РФ, в 1999 г. - советник главы администрации Александра Волошина (обе должности Александр Мамут занимал на общественных началах).
В 1999-2002 гг. был председателем совета директоров МДМ-банка.
В 2000 г. был избран в члены правления Российского союза промышленников и предпринимателей. В этом качестве входил в состав совета по предпринимательству при правительстве премьер-министра Михаила Касьянова (в 2023 г. включен в реестр иноагентов).
С 2002 по 2005 г. - председатель совета директоров инвестиционной компании "Тройка диалог".
В 2006 г. Александр Мамут начал инвестировать средства в интернет-активы, основав совместно с американским бизнесменом Эндрю Полсоном компанию SUP, которая в 2007 г. купила популярный сервис для блогов LiveJournal ("Лайвджорнал"). Впоследствии стал единоличным владельцем SUP. В 2013 г. эта компания была объединена с группой "Афиша-Рамблер". С 2014 г. образованный медиахолдинг получил название Rambler&Co (ныне - Rambler Group), Александр Мамут получил в нем пост генерального директора и председателя совета директоров. После того, как в августе 2019 г. 46,5% акций Rambler были проданы Сбербанку, Мамут возглавлял совет директоров холдинга на ротационной основе (по очереди с представителем Сбербанка - Львом Хасисом). Оставшиеся акции Rambler Group он продал в 2020 г.
В 2009 г. Александр Мамут основал в Москве институт медиа, архитектуры и дизайна "Стрелка", ныне возглавляет его попечительский совет. Консалтинговое бюро при "Стрелке" в 2010-х гг. создало целый ряд реализованных проектов благоустройства для городов России, в том числе Москвы (проект "Моя улица"). С 2011 г. институт и бюро выполнили работы более чем по 10 госконтрактам на общую сумму более 5,5 млрд руб.
В 2017 г. за 250 млн долларов США Александр Мамут купил у Сулеймана Керимова и Михаила Фридмана сети кинотеатров "Синема парк" и "Формула кино", а в 2018 г. через Rambler Group стал владельцем онлайн-кинотеатра Okko. Таким образом он создал крупнейшую сеть кинотеатров в России. Также ему принадлежит московский кинотеатр "Пионер".
Помимо этих активов Александр Мамут владеет 9,1% акций в компании "Полиметалл" (основной владелец - Виталий Несис), которая занимается добычей золота и драгоценных металлов в России и Казахстане (второе место по добыче в РФ).
Также является владельцем издательской группы "Азбука-Аттикус" - одной из крупнейших в России, специализируется на публикации переводной литературы.
В разные годы владел пакетами акций в таких компаниях, как "Ингосстрах" (страхование), группе компаний "ПИК" (девелопмент), "Евросеть" (торговля сотовыми телефонами), развивал в России нидерландскую торговую сеть Spar ("Спар").
Основной частью активов владеет через кипрскую компанию A&NN Investments.
Александр Мамут входит в число миллиардеров мира по версии американского журнала Forbes. Впервые попал в рейтинг в 2008 г. с состоянием в 1,2 млрд долларов. В 2019 г. его состояние оценивалось журналом в 2,5 млрд долларов (42-е место в России, 916-е - в мире).
Кавалер французского ордена Искусств и Литературы (2018).
Трое детей. Также воспитал двух детей бывшей супруги Надежды Ляминой (скончалась в 2002 г.) от ее первого брака - Леонида и Дмитрия Брежневых (правнуки генерального секретаря ЦК КПСС Леонида Брежнева).