Родился 29 января 1961 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург).Отец - Юрий Иванович Моляков, участвовал в строительстве Чебоксарского химкомбината (ныне ПАО "Химпром"), был первым секретарем Новочебоксарского и Чебоксарского горкомов КПСС, депутатом Верховного совета Чувашской АССР. Детство Игорь Моляков провел в Новочебоксарске.
В 1983 г. окончил философский факультет Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (ЛГУ; ныне Санкт-Петербургский государственный университет) по специальности "преподаватель философии и обществоведения", в 1986 г. - аспирантуру вуза.
Кандидат философских наук. В 1986 г. в ЛГУ защитил диссертацию на тему "Критический анализ роли Библии в современной идеологической борьбе".
В 1987 г. был направлен в Чебоксары. В 1987–1988 гг. - ассистент кафедры научного атеизма, в 1988-1994 гг. - старший преподаватель кафедры философии Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова.
В 1990 г. вступил в Рабочую коммунистическую партию России, затем - в КПРФ (лидер - Геннадий Зюганов).
В 1994-1995 гг. - депутат Государственного совета Чувашской Республики I созыва. Был избран на довыборах в Госсовет 4 декабря 1994 г. от Северо-Западного территориального избирательного округа №19 г. Чебоксары. 21 июля 1995 г. полномочия Молякова и еще 13 депутатов Госсовета, избранных на довыборах, были прекращены на основании постановления Конституционного суда (КС) РФ от 10 июля 1995 г. С запросом в КС обратился президент Чувашии Николай Федоров. Глава республики оспорил изменения избирательного законодательства республики перед проведением дополнительных выборов в Госсовет.
В августе - декабре 1995 г. был доцентом кафедры философии естественных и технических факультетов Чувашского государственного университета.
С 1995-1998 гг. - депутат Государственного совета Чувашии I созыва. Был вновь избран в республиканский парламент 17 декабря 1995 г. от Северо-Западного избирательного округа №19. В Госсовете I созыва входил в комитеты по культуре, образованию, науке, межнациональным отношениям, информационной политике и связи, по вопросам деятельности органов местного самоуправления и общественных объединений. С января 1997 г. по июль 1998 г. - председатель комитета по бюджету, налогам, сборам и банкам.
В 1998-2002 гг. - депутат Госсовета Чувашии II созыва. Был избран 12 июля 1998 г. по Гузовскому избирательному округу №70 (Московский район г. Чебоксары). С сентября 1998 г. по февраль 1999 г. работал в комитете по бюджету и финансам. Затем был членом комитетов по законодательству, по вопросам местного самоуправления. Одновременно с февраля по декабрь 1999 г. - помощник депутата Государственной думы РФ.
19 декабря 1999 г. принимал участие в выборах депутатов Государственной думы РФ III созыва от партии КПРФ, баллотировался по Чебоксарскому одномандатному избирательному округу №33. По итогам голосования занял второе место из десяти с результатом 29,42%, победу в округе одержал кандидат, выдвинутый группой избирателей, - Анатолий Аксаков (40,41%).
В 1999–2002 гг. Николай Моляков был доцентом кафедры философии естественных и технических факультетов Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова, в 2002–2003 гг. - докторантом вуза.
В декабре 2001 г. во время предвыборной президентской кампании в Чувашии Моляков опубликовал в газете "Чебоксарская правда" статью "Тело на обочине". В ней автор утверждал, что в 1972 г. ныне действующий глава республики Николай Федоров и его отец совершили попытку убийства одного из своих бывших родственников. Статья имела большой общественный резонанс, Федоров обратился в суд с иском о защите чести и достоинства. 4 ноября 2002 г. мировой суд судебного участка №1 Калининского района Чебоксар признал Игоря Молякова виновным по ч. 3 ст. 129 Уголовного кодекса РФ ("Клевета") и приговорил его к одному году и шести месяцам лишения свободы условно с испытательным сроком два года. Судимость была погашена 4 ноября 2004 г.
В 2002-2003 гг. - депутат Госсовета Чувашской Республики III созыва. Избран 21 июля 2002 г. от Гузовского избирательного округа №59 (Московский район г. Чебоксары). Депутатские полномочия сложил досрочно 9 июля 2003 г.
Входил в число учредителей некоммерческой организации "Благотворительный фонд "Социальная инициатива XXI век", в 2004-2010 гг. был заместителем директора фонда. С июля 2010 г. занимал пост заместителя директора некоммерческой организации "Благотворительный фонд "Наследие", в 2011 г. стал заместителем директора Чувашского республиканского общественного фонда "Аталану".
Был первым секретарем Чебоксарского городского комитета КПРФ, секретарем Чувашского республиканского комитета партии.
В 2006 г. вышел из КПРФ и вступил в партию "Справедливая Россия" (лидер - Сергей Миронов).
В 2006-2020 гг. - депутат Государственного совета Чувашской Республики - Чувашии IV-VI созывов.
8 октября 2006 г. избран депутатом Госсовета IV созыва от Западного одномандатного избирательного округа №18 (Московский район г. Чебоксары). Баллотировался в порядке самовыдвижения, на выборах получил 41,63% голосов. Входил в комитеты Госсовета по государственному строительству и местному самоуправлению, по бюджету, налогам, предпринимательству и собственности. С апреля 2012 г. был заместителем председателя комитета по госстроительству, местному самоуправлению, регламенту и депутатской этике.
В 2007 и 2011 гг. баллотировался в Государственную думу РФ V созыва от партии "Справедливая Россия" по единому федеральному округу (шел под вторым номером в региональных группах от республик Марий Эл и Чувашия). Однако после выборов по итогам распределения мандатов места в Думе не получал.
4 декабря 2011 г. избран в Госсовет Чувашии V созыва от партии "Справедливая Россия" по Западному избирательному округу №18 (набрал 29,74%). Вновь стал заместителем председателя комитета по госстроительству, местному самоуправлению, регламенту и депутатской этике.
18 сентября 2016 г. избран депутатом Госсовета Чувашской Республики VI созыва от партии "Справедливая Россия". Был выдвинут по единому избирательному округу (второй номер партийного списка) и по Приволжскому избирательному округу №20. Прошел в Госсовет по списку "Справедливой России", в Приволжском округе набрал 22,17% голосов, заняв третье место. С ноября 2017 г. был заместителем председателя комитета Госсовета по экономической политике, агропромышленному комплексу и экологии. Член президиума Госсовета, руководитель фракции "Справедливая Россия".
18 сентября 2016 г. также баллотировался в Госдуму РФ VII созыва по единому федеральному округу в составе списка "Справедливой России" (под четвертым номером региональной группы №10, Республика Марий Эл, Чувашская Республика, Ульяновская область). По итогам распределения мандатов в Думу не прошел.
С 5 февраля 2020 г. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. Получил мандат члена фракции "Справедливая Россия", освободившийся после ухода из палаты Олега Николаева, которого президент РФ назначил врио главы Чувашии.
Член центрального совета политической партии "Справедливая Россия", секретарь бюро совета регионального отделения "Справедливой России" в Чувашской Республике (с августа 2010 г).
С февраля 2020 г. - председатель совета регионального отделения "Справедливой России" (с 2021 г. - "Справедливая Россия - Патриоты - За правду", СРЗП) в Чувашской Республике.
19 сентября 2021 г. участвовал в выборах депутатов Государственной думы РФ VIII созыва от партии СРЗП. Баллотировался под вторым номером в составе региональной группы №13 (Марий Эл, Чувашия, Ульяновская обл.) и по Чебоксарский одномандатному избирательному округу №38 (Чувашия). В Думу не прошел.
Автор научных работ, сборников стихов, романа "Заметки на ходу" (не опубликован), путевых набросков "Москва", "Крым" и т. д.