Родился 5 ноября 1953 г. в г. Казани в семье сотрудника Комитета государственной безопасности СССР.
В 1976 г. окончил историко-филологический факультет Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (ныне Казанский, Приволжский, федеральный университет) по специальности "преподаватель научного коммунизма и обществоведения". В 1980 г. окончил аспирантуру вуза. В 1983-1984 гг. проходил стажировку в Боннском университете (Рейнский Боннский университет Фридриха Вильгельма, Германия) на кафедре политологии.
Кандидат философских наук, в 1980 г. защитил диссертацию на тему "Критический анализ буржуазных интерпретаций теории и практики социалистического интернационализма".
С 1976 по 1985 г. – аспирант, ассистент, доцент кафедры научного коммунизма Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.
В 1985–1987 гг. - заместитель секретаря парткома Казанского государственного университета.
В 1987-1989 гг. - заведующий отделом агитации и пропаганды республиканского комитета КПСС в Татарской АССР, депутат Верховного совета Татарской АССР.
В 1989–1990 г. – инструктор отдела науки и образования ЦК КПСС, в 1990-1991 гг. - референт секретаря ЦК КПСС (Москва).
В 1991 гг. – помощник Валерия Болдина, руководителя аппарата генерального секретаря ЦК КПСС Михаила Горбачева.
В 1991–1992 гг. - советник Международной академии книги и книжного искусства.
В 1991 г. стал политическим обозревателем газеты "Советская Татария" (впоследствии - газета "Республика Татарстан").
В 1992–1994 гг. – заведующий отделом общественных связей, затем заместитель генерального директора АО "Биотехнология" в г. Казани.
В 1994-2012 гг. - депутат Государственной думы РФ I-V созывов.
Был избран в Госдуму РФ I созыва 13 марта 1994 г. на дополнительных выборах по Московскому одномандатному избирательному округу №24 Республики Татарстан, набрав 46% голосов избирателей. Депутатский мандат получил 6 апреля того же года. В Госдуме до 1995 г. входил в депутатскую группу "Новая региональная политика", затем был сопредседателем депутатской группы "Регионы России". Член комитета по делам Федерации и региональной политике, председатель подкомитета по межрегиональным отношениям.
17 декабря 1995 г. Олег Морозов был избран депутатом Госдумы II созыва по списку избирательного блока "Отечество - Вся Россия". В Думе возглавлял депутатскую группу "Российские регионы". В 1996–1997 гг. был заместителем председателя комитета ГД по делам Федерации и региональной политике.
Был членом исполкома организации "Регионы России".
20 августа 1999 г. состоялся учредительный съезд движения "Вся Россия" (с апреля 1999 г. существовало как блок), лидерами которого были главы Татарстана Минтимер Шаймиев, Башкирии Муртаза Рахимов, Ингушетии Руслан Аушев, Санкт-Петербурга Владимир Яковлев. Олег Морозов был избран председателем исполкома и членом президиума политсовета движения. В конце августа того же года "Вся Россия" вместе с объединением "Отечество" Юрия Лужкова вошло в избирательный блок "Отечество - Вся Россия" (ОВР) Евгения Примакова.
19 декабря 1999 г. Олег Морозов вновь был избран в нижнюю палату парламента III созыва. Баллотировался по общефедеральному списку избирательного блока ОВР (восьмой номер списка). В Госдуме занимал пост председателя депутатской группы "Регионы России (Союз независимых депутатов)". Член комитета ГД по делам Федерации и региональной политике.
После слияния в декабре 2001 г. движения "Отечество - Вся Россия" с партией "Единство" (лидер - Сергей Шойгу) во Всероссийскую партию "Единство и Отечество" ("Единая Россия") Олег Морозов был избран в ее генеральный совет. Входил в него до 2008 г. Занимался подготовкой программных документов партии и ее идеологической платформы.
7 декабря 2003 г. был избран депутатом Государственной думы РФ IV созыва от партии "Единая Россия". Баллотировался по Набережно-Челнинскому одномандатному избирательному округу №25 (Республика Татарстан). По итогам голосования получил 49,16% голосов (второе место в округе у кандидата от блока "Партия возрождения России – Российская партия жизни" Булата Янборисова, 13,45%). Вошел в партийную фракцию, был первым заместителем ее руководителя. В 2003-2005 гг. - заместитель председателя Государственной думы Бориса Грызлова, в 2005-2011 гг. - первый заместитель спикера нижней палаты. Член комитета ГД по образованию и науке.
2 декабря 2007 г. переизбран в пятый созыв Госдумы по списку "Единой России". На выборах входил в региональную группу №16 от Республики Татарстан под №2. С 2007 по 2011 г. был заместителем руководителя фракции единороссов, заместителем председателя Государственной думы Сергея Нарышкина. Член комитета по бюджету и налогам. Депутатские полномочия Олега Морозова были прекращены досрочно 5 июня 2012 г. в связи с переходом на работу в Администрацию президента РФ. В мае 2012 г. он также приостановил членство в "Единой России" в связи с переходом на госслужбу.
С 25 мая 2012 г. по 23 марта 2015 г. - начальник Управления президента РФ по внутренней политике. На этом посту сменил Константина Костина.
В 2015-2020 гг. - член Совета Федерации РФ. 18 сентября 2015 г. указом президента Татарстана Рустама Минниханова Олег Морозов был наделен полномочиями сенатора – представителя от исполнительного органа государственной власти Республики Татарстан. В Совфеде вошел в состав комитета по международным делам. Сложил полномочия члена Совета Федерации 23 сентября 2020 г. в связи с переходом в Госдуму РФ. Его место в верхней палате парламента занял Ленар Сафин.
С 2020 г. - депутат Государственной думы РФ VII-VIII созывов.
В сентябре 2020 г. принял участие в довыборах депутата Государственной думы VII созыва по Нижнекамскому одномандатному избирательному округу №28 Республики Татарстан (депутатский мандат стал вакантным после гибели в феврале 2020 г. Айрата Хайруллина). Баллотировался от партии "Единая Россия". По итогам голосования, которое проводилось с 11 по 13 сентября, набрал 73,42% голосов (второе место - у первого секретаря Нижнекамского горкома КПРФ Альберта Ягудина, 9,34%). Член фракции "Единая Россия". С 18 ноября 2020 г. - заместитель сопредседателя Межпарламентской группы РФ от нижней палаты российского парламента.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва от "Единой России". Был избран 19 сентября 2021 г. по Нижнекамскому одномандатному избирательному округу №28 (Татарстан). Набрал 72,45% голосов (второе место в округе занял муниципальный депутат Динар Аюпов от КПРФ, 6,62%). Член фракции "Единая Россия". С 12 октября 2021 г. - председатель комитета Госдумы РФ по контролю.
Член правления Фонда пенсионного и социального страхования РФ от Госдумы РФ (с 2023 г.).
Действительный государственный советник РФ I класса (2012).
Полковник.
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV и III степеней (2003, 2008), Почета (2012), Александра Невского (2019), медалью П. А. Столыпина II степени (2012). Имеет Почетные грамоты правительства РФ (2003, 2008), благодарности президента РФ.
Лауреат премии "Хрустальное перо" Союза журналистов Татарстана (1997).
Автор и соавтор ряда научных публикаций, публицистических материалов в СМИ, а также сборников "Дума: Россия, которую мы выбираем" (2007), "Политика не терпит мелочей" (2017) и др.
Владеет немецким языком.