Родился 17 апреля 1973 г. в г. Туапсе (Краснодарский край). По национальности адыгеец (шапсуг).
В 2000 г. окончил Адыгейский государственный университет по специальностям "история" и "юриспруденция, в 2007 г. - аспирантуру Института международного права и экономики им. А. С. Грибоедова по специальности "отечественная история", в 2010 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ по специальности "государственное и муниципальное управление".
Кандидат исторических наук. В 2007 г. в Московском педагогическом государственном университете защитил диссертацию на тему "Таможенная политика Российской Федерации в 1990-е гг.".
Занимался предпринимательской деятельностью. Был заместителем директора по производственным вопросам ООО "Олимпиакос" (г. Сочи).
С 2000 г. являлся гендиректором ЗАО "Роснефтересурс" (г. Сочи). Входил в совет директоров ОАО "Туапсегоргаз".
Был помощником депутата Государственной думы от Либерально-демократической партии России (ЛДПР).
2 декабря 2007 г. был избран в Государственную думу V созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого ЛДПР (первый номер в региональной группе №32, Краснодарский край). Был членом фракции ЛДПР, заместителем председателя комитета по гражданскому, уголовному, арбитражному и процессуальному законодательству.
4 декабря 2011 г. вновь был избран депутатом Госдумы VI созыва в составе федерального списка кандидатов от ЛДПР (десятый номер в общей части списка). Был членом партийной фракции, первым заместителем председателя думского комитета по гражданскому, уголовному, арбитражному и процессуальному законодательству.
26 мая 2013 г. принимал участие в досрочные выборах главы Майкопа (Республика Адыгея). Был выдвинут региональным отделением ЛДПР. По итогам голосования занял шестое место из семи, получив 1,58%. Победу одержал кандидат от "Единой России" Александр Наролин (61,83%).
18 сентября 2016 г. избран депутатом Госдумы VII созыва в составе федерального списка кандидатов ЛДПР (первый номер в региональной группе № 33, Краснодарский край). В Думе вошел во фракцию ЛДПР, занял должность первого заместителя председателя комитета по государственному строительству и законодательству.
С 2021 по 2025 г. - депутат Государственной думы VIII созыва. Был избран 19 сентября 2021 г. от партии ЛДПР по федеральному округу (возглавлял региональную группу №57, Краснодарский край, Ростовская обл.). С 12 октября 2021 г. был первым заместителем председателя комитета Госдумы по государственному строительству и законодательству.
3 апреля 2025 г. Государственная дума досрочно прекратила депутатские полномочия Юрия Напсо. Основанием послужило то, что Напсо, который в течение двух лет проживал за рубежом, нарушил требования закона о статусе депутата в части участия в парламентской работе. 29 мая 2025 г. Верховный суд признал законным решение Госдумы лишить Юрия Напсо депутатского мандата.
31 октября 2024 г. Центральный районный суд Сочи удовлетворил гражданский иск Генпрокуратуры РФ и вынес решение об обращении в собственность государства имущества и недвижимости депутата Госдумы Юрия Напсо и связанных с ним лиц на сумму более чем в 1,2 млрд руб. Как сообщили в суде, в собственность РФ обращено 100% долей уставного капитала ООО "Национальная топливная компания", ООО "Кубаньойл" и ООО "Сочипетрол". Сам Напсо впоследствии опроверг изъятие у него предприятий, земельных участков и недвижимости, заявив, что в иске Генпрокуратуры он проходит как аффилированное лицо.
8 октября 2025 г. адвокат Юрия Напсо на слушаниях в суде по поводу выселения экс-депутата из служебной квартиры (решение суда о выселении принято 14 ноября 2025 г.) подтвердил, что в отношении Напсо возбуждено уголовное дело, но подробностей не раскрыл. Ранее, 25 сентября 2025 г., газета "Коммерсант" сообщила, что Следственный комитет России (СКР) инициировал объявление в федеральный розыск Юрия Напсо, который подозревается в изнасиловании своей помощницы (ч. 1 ст. 131 УК РФ), совершенном в 2023 г.
8 октября 2025 г. Центральный районный суд Сочи по иску Генпрокуратуры передал в собственность РФ порядка 60 объектов недвижимости, которые, по мнению надзорного ведомства, принадлежат Напсо или его близким. Также в доход государства был передан ряд юридических лиц и иных активов, подконтрольных бывшему парламентарию. Как следует из судебного решения, на октябрь 2024 г. Юрий Напсо владел рядом коммерческих структур: ООО "Национальная топливная компания", ООО "Сочипетрол", ООО "Сервисгаз", ООО "Кубаньойл", ООО "Газтрансервис", ООО "Ирбит", ОАО "МК "Туапсинский", кафе "Бармалини". При этом, несмотря на статус депутата, он фактически управлял указанными организациями и руководил их финансово-хозяйственной деятельностью.
По данным Генпрокуратуры, сведения о приобретении дорогостоящих объектов недвижимости экс-депутат не декларировал и в контрольные органы о них не сообщал. Напсо привлек 12 человек в качестве номинальных владельцев своей недвижимости и коммерческих структур, которыми продолжил незаконно владеть после избрания в Госдуму. Среди них - жена экс-депутата Вероника Иванчикова, его мать и брат Роман Напсо. До конца 2016 г. они также являлись совладельцами компании "Мясокомбинат "Туапсинский".
25 ноября 2025 г. Краснодарский краевой суд отклонил апелляционную жалобу Юрия Напсо на решение суда первой инстанции об изъятии у него имущества на 1,4 млрд руб. Решение вступило в законную силу.
16 декабря 2025 г. стало известно, что бывший депутат объявлен в розыск по подозрению в уголовном преступлении, при этом статья УК РФ в базе розыска МВД не указана.
Имеет благодарность правительства РФ (2013).