Родился 21 сентября 1955 г. в г. Мичуринске Тамбовской области.
В 1984 г. окончил Всесоюзный заочный юридический институт (ныне Московский государственный юридический университет им. О. Е. Кутафина) по специальности "юрист-правовед".
Кандидат экономических наук. В 2009 г. в Дальневосточном государственном университете путей сообщения защитил диссертацию на тему "Управление социально-экономическим развитием муниципальных образований в районах Крайнего Севера: на примере Камчатского края".
Трудовую деятельность начал электролинейщиком высоковольтных линий в механизированной автоколонне №85 г. Жердева Тамбовской области.
Проходил срочную службу в разведроте Воздушно-десантных войск Вооруженных сил СССР. После демобилизации устроился на работу в Якутский речной порт.
В 1977 г. переехал на Камчатку, где работал сначала на Тиличикском ремонтно-строительном участке, затем был грузчиков на рыбоконсервном заводе в Петропавловске-Камчатском.
С 1978 г. служил в органах внутренних дел: прошел путь от командира отделения патрульно-постовой службы до старшего оперуполномоченного отдела по борьбе с хищениями социалистической собственности (ОБХСС) УВД Камчатской области.
С 1991 г. руководил торговой компанией "Прибой-Самсунг" (Петропавловск-Камчатский), был генеральным директором ООО "Устькамчатскрыба" по добыче и переработке рыбы и морепродукции. Согласно данным "Спарк-Интерфакс", является совладельцем камчатских рыбодобывающих и рыбоперерабатывающих компаний ("Устькамчатрыба", "Город 415" и др.).
С 2000 по 2012 г. - секретарь камчатского регионального отделения партии "Единая Россия".
С декабря 2000 по декабрь 2001 г. - глава Усть-Камчатского районного муниципального образования Камчатской области. Победил на повторных выборах 17 декабря 2000 г., получив 51,61% голосов (его единственный соперник Владимир Рыбак набрал 42,36%).
2 декабря 2001 г. Борис Невзоров был избран в Совет народных депутатов Камчатской области III созыва по многомандатному избирательному округу №12. На выборах получил 64,18% голосов, баллотировался от группы избирателей.
2 декабря 2007 г. стал депутатом Законодательного собрания Камчатского края I созыва (1 июля 2007 г. Камчатская область и Корякский автономный округ были объединены в Камчатский край). На выборы был выдвинут партией "Единая Россия": возглавлял список кандидатов по единому избирательному округу, одновременно баллотировался по избирательному округу №13 (набрал 60,95%). В 2007-2011 гг. - председатель Законодательного собрания Камчатского края. 4 декабря 2011 г. был переизбран во II созыв регионального парламента от "Единой России", однако от мандата отказался в связи с исполнением полномочий члена Совета Федерации РФ.
10 января 2012 г. наделен полномочиями члена Совета Федерации РФ (сенатора), представителя исполнительного органа государственной власти Камчатского края (переназначен 21 сентября 2020 г.). С ноября 2012 г. по февраль 2016 г. – заместитель председателя комитета СФ по аграрно-продовольственной политике и природопользованию, с февраля 2016 г. по апрель 2018 г. - заместитель председателя комитета по конституционному законодательству и государственному строительству.
Был руководителем Дальневосточного межрегионального координационного совета партии "Единая Россия" (с 2013 г.).
Награжден орденами Почета (2006), Александра Невского (2018), Дружбы (2023). Имеет благодарность (2016) и Почетную грамоту правительства РФ (2022).
Профессор Академии военных наук.