Родился 22 января 1937 г. в пос. Ивантеевский Пушкинского района Московской обл. (с 1938 г. - гор. Ивантеевка) в семье повара и швеи-мотористки. В ходе Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. отец, Виктор Платонович Филичкин, был призван на фронт и пропал без вести.
После окончания семи классов ивантеевской школы Леонид Носырев поступил в московскую детскую художественную школу в Чудовом переулке (после просмотра работ был принят сразу во второй класс). В 1956 г. окончил Федоскинскую школу миниатюрной живописи (ныне - Федоскинское художественно-промышленное училище, с. Федоскино, Мытищинский район Московской обл.) по специальности "мастер-живописец миниатюрной лаковой живописи". В 1959-1961 гг. учился на двухгодичных курсах для художников-мультипликаторов при киностудии "Союзмультфильм" (Москва). В 1975 г. окончил вечернее отделение исторического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "теория и истории искусств".
В 1956-1959 гг. работал живописцем в артели при Федоскинской школе миниатюрной живописи, занимался росписью шкатулок.
В 1961 г., после окончания курсов "Союзмультфильма", был принят в штат студии. С 1961 г. под руководством режиссера-мультипликатора Федора Хитрука работал художником-мультипликатором над фильмами "История одного преступления" (1962), "Топтыжка" (1964), "Каникулы Бонифация" (1965), "Человек в рамке" (1965) и др.
В 1969 г. дебютировал как режиссер-мультипликатор, поставив короткометражную ленту "Антошка". Мультфильм по мотивам песни Владимира Шаинского на стихи Юрия Энтина вошел в первый выпуск детского киножурнала "Веселая карусель" (художественный руководитель - Роман Качанов). В дальнейшем в киножурнале вышли еще три фильма Носырева: "Два веселых гуся" (1970), "Рыжий, рыжий, конопатый" (1971) и "Хомяк-молчун" (1972).
В 1974 г. для проекта итальянского телевидения "Сказки народов Европы" снял мультфильм "Вершки и корешки", главные роли в котором озвучил артист Валерий Золотухин.
С 1960-х гг. заинтересовался Русским Севером, в ходе многочисленных поездок собирал материал, изучал быт и культуру Поморья. Главная тема режиссуры Леонида Носырева со второй половины 1970-х гг. - экранизации произведений архангельских писателей Бориса Шергина и Степана Писахова. Первыми из этих лент стали "Не любо - не слушай" (1977) и "Дождь" (1978).
В 1977 г. началась многолетняя работа режиссера с писателем Юрием Ковалем. По написанным вместе с ним сценариям Носырев снял мультфильмы "Волшебное кольцо" (1979, по сказке Шергина), "Архангельские новеллы" (1986, по сказкам Писахова), "Поморская быль" (1987, по сказке Шергина), "Тигренок на подсолнухе" (1981, по сказке Коваля), "Mister Пронька" (1991, по сказке Шергина "Пронька Грезной") и др. В 1988 г. ленты "северного" цикла были объединены в полнометражный фильм "Смех и горе у Бела моря".
Последняя на данный момент режиссерская работа Леонида Носырева - мультфильм "Пинежский Пушкин" по рассказу Бориса Шергина (2003).
В 1990-х гг. - член, затем председатель художественного совета студии "Союзмультфильм".
С 1996 г. по н. в. - преподаватель, сотрудник кафедры мастерства художника фильма художественного факультета Всероссийского государственного института кинематографии им. С. А. Герасимова (ВГИК, Москва).
В 2000-х гг. входил в экспертную комиссию по анимационным фильмам при службе кинематографии Минкультуры РФ.
В 2014 г. написал сценарий для мультфильма "Про Комарова" (2015, 14-й выпуск "Веселой карусели"), поставленный сыном Павлом.
Профессор художественного факультета ВГИКа.
Заслуженный деятель искусств Российской Федерации (2003).
Лауреат премии президента РФ в области литературы и искусства за произведения для детей и юношества 2019 г.
Леонид Носырев удостоен серебряной медали в номинации "лучшая сказка" на международном кинофестивале в датском Оденсе (1979, за фильм "Волшебное кольцо"), приза всесоюзного кинофестиваля в Душанбе (1980) и др. наград. Обладатель приза "Мастер" (за вклад в отечественную мультипликацию) российской анимационной премии "Икар" (2020).
Выставки эскизов и рабочих материалов к фильмам Леонида Носырева проходили в 2013 г. в Ивантеевке, Архангельске и Москве.
Супруга - Вера Кудрявцева-Енгалычева (род. 1946), заслуженный художник РФ, в 1974-2003 гг. - художник-постановщик на фильмах мужа. Сын - Павел Леонидович Носырев (род. 1981) - режиссер-мультипликатор.