Родился 27 августа 1920 г. в с. Петровское Донецкой губернии Украинской ССР (ныне г. Петровское Луганской Народной Республики РФ) в семье машиниста-железнодорожника.
В 1939 г. окончил Харьковский электротехникум связи (ныне Харьковский колледж Государственного университета телекоммуникаций, Украина), после чего работал на Дальнем Востоке диспетчером связи.
В 1944 г. занимался восстановлением телефонных линий на освобожденных станциях Украинской ССР и Молдавской ССР (ныне Республика Молдова).
В 1945 г. поступил в Кишиневскую государственную консерваторию (ныне Академия музыки, театра и изобразительных искусств Республики Молдова). Занимался по вокальному классу педагога Василия Долева. Окончил консерваторию в 1949 г. Певческий голос - бас.
В 1949-1981 гг. Александр Огнивцев был солистом Государственного академического Большого театра СССР. Его дебют состоялся в 1950 г. (Досифей в опере Модеста Мусоргского "Хованщина"). В дальнейшем исполнил более 15 партий в различных оперных постановках. Среди них: Дон Базилио в "Севильском цирюльнике" Джоаккино Россини, Варяжский гость в "Садко" Николая Римского-Корсакова, Борис Годунов в одноименной опере Модеста Мусоргского, Мефистофель в "Фаусте" Шарля Гуно, Болконский в "Войне и мире" Сергея Прокофьева.
Певец регулярно выступал с концертными программами в СССР и за рубежом.
В 1952 г. исполнил роль Федора Шаляпина в художественном фильме "Римский-Корсаков" (режиссеры Геннадий Казанский и Григорий Рошаль), в 1954 г. - заглавную роль в фильме-опере "Алеко" по сочинению Сергея Рахманинова (Григорий Рошаль и Сергей Сиделев).
В 1976 г. вышел фильм-концерт "Я романсу отдал честь. Поет Александр Огнивцев" (режиссер Фахри Мустафаев).
Александр Огнивцев скончался 8 сентября 1981 г. в Москве на 62-м году жизни. Похоронен на столичном Новодевичьем кладбище.
Народный артист СССР (1965).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1951), Ленина (1971, 1976), Трудового Красного Знамени (1980).
Лауреат Сталинской премии I степени (1951).
Обладатель первой премии Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Восточном Берлине (1951).