Родился 28 сентября 1969 г. в г. Навои Бухарской области Узбекской ССР (ныне Республика Узбекистан).
В 1993 г. окончил Ростовский институт народного хозяйства (ныне Ростовский государственный экономический университет) по специальности "экономическая информатика и автоматизированные системы управления", в 2000 г. - Ставропольский государственный университет (в 2012 г. присоединен к Северо-Кавказскому федеральному университету) по специальности "юриспруденция". В 2005 г. получил степень магистра МВА (деловое администрирование) по специальности "финансовый менеджмент" в Академии народного хозяйства при правительстве РФ (ныне РАНХиГС).
В 1991-1995 гг. работал в Государственной налоговой службе РФ.
С 1996 по 2009 г. был финансовым директором ряда российских компаний и холдингов. Входил в руководящие органы компаний "Русгидро" и РАО "ЕЭС России".
В 2009 г. возглавил экспертный совет Общероссийской общественной организации "Деловая Россия". Занимал пост вице-президента организации, курировал вопросы инвестиционной деятельности.
В 2013 г. - помощник министра РФ по развитию Дальнего Востока Александра Галушки.
С 26 ноября 2013 г. по 11 июня 2018 г. - первый заместитель министра РФ по развитию Дальнего Востока. Являлся сопредседателем совместной рабочей группы Минвостокразвития и Генпрокуратуры РФ по снижению административных барьеров для бизнеса и защиты прав инвесторов.
24 октября 2018 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио губернатора Забайкальского края. Сменил на этом посту Наталью Жданову.
8 сентября 2019 г. был избран губернатором Забайкальского края на прямых выборах. За него проголосовали 89,61% избирателей (баллотировался в порядке самовыдвижения). Второе место заняла кандидат от Российской партии пенсионеров за социальную справедливость, председатель регионального отделения Всероссийского общества инвалидов Елена Краузе (3,33%). 19 сентября того же года Александр Осипов официально вступил в должность руководителя области.
8 сентября 2024 г. Александр Осипов вновь победил на выборах губернатора Забайкальского края, получив 82,27% голосов избирателей (баллотировался в порядке самовыдвижения). Его ближайший соперник, кандидат от ЛДПР, депутат краевого заксобрания Георгий Шилин, набрал 7,44%. 20 сентября 2024 г. Александр Осипов принял присягу.
Член Государственного совета РФ.
Входил в состав экспертного совета Агентства стратегических инициатив, конкурсной комиссии Министерства экономического развития РФ, рабочей группы Министерства энергетики РФ и др.
Имеет благодарности президента и правительства РФ.
Награжден медалью Министерства обороны РФ "Участнику специальной военной операции" (2023).
