Родился 3 марта 1958 г. родился в Шестовском лесопункте (поселок городского типа Савинский) Плесецкого района Архангельской области в семье рабочих леспромхоза. Позднее семья переехала в г. Котлас Архангельской области.
В 1982 г. окончил Лимендское речное училище Министерства речного флота РСФСР по специальности "судовождение на внутренних водных путях".
После училища работал по специальности, в 21 год стал капитаном речного судна. Затем занимался частным предпринимательством, взяв в аренду теплоход.
В 1993 г. перешел на Котласский лесопильно-деревообрабатывающий комбинат, где работал сначала мастером, затем начальником цеха. В 1995 г. на предприятии была начата процедура банкротства, однако Андрей Палкин организовал работу лесозаготовительных бригад, что помогло вновь запустить производство. В том же году он был назначен главным инженером предприятия. В 1998 г. совет акционеров избрал его генеральным директором компании. Этот пост Андрей Палкин занимал около полугода.
С 1998 г. - индивидуальный предприниматель, основатель около 17 предприятий в лесной, транспортной, строительной и др. отраслях: ООО "Домострой-Сервис", ООО "Союз", Котласский завод силикатного кирпича и др. Начиная с 2002 г. его строительными компаниями было возведено около 40 жилых домов в Архангельске и области (г. Котлас и Коряжма, п. Урдома).
19 декабря 2004 г. был избран в Архангельское областное собрание депутатов IV созыва от регионального отделения партии "Единая Россия" по округу №14 (38,60% голосов).
1 марта 2009 г. принимал участие в выборах главы г. Котлас (самовыдвиженец), занял второе место, набрав 35,78% голосов. Победу одержал Сергей Мелентьев, действующий глава администрации.
8 сентября 2013 г. вновь был избран в Архангельское областное собрание депутатов VI созыва от регионального отделения "Единой России" по округу №14 (68,31%). Заместитель председателя комитета по жилищной политике и коммунальному хозяйству. Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе.
В мае 2016 г. участвовал в предварительном внутрипартийном голосовании (праймериз) "Единой России" по отбору кандидатов в депутаты Госдумы РФ от Архангельской области. Занял первое место по итогам голосования в Котласском одномандатном округе (37,36%).
В 2016-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. 18 сентября 2016 г. избран от "Единой России" по Котласскому одномандатному избирательному округу №73 (Архангельская область). Получил 43,25% голосов, его ближайший соперник от "Справедливой России" Ирина Чиркова - 22,84%. В нижней палате парламента Андрей Палкин вошел в состав партийной фракции.