Родился 17 июля 1957 г. в селе Пречистом Ярославской обл. До четырех лет воспитывался бабушкой в соседней д. Гуреево, после чего переехал к родителям в Ярославль.
В 1976 г. окончил Ярославское художественное училище по специальности "художник-оформитель" и поступил во Всесоюзный государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова (ВГИК) на отделение художника игрового кино. После первого курса перевелся на отделение мультипликации (мастерская Ивана Иванова-Вано), которое окончил в 1982 г. Дипломной работой были рисунки к фильму по мотивам "Божественной комедии" Данте Алигьери. В 1987-1988 гг. учился на Высших курсах сценаристов и режиссеров в Москве (преподаватели - Федор Хитрук, Юрий Норштейн и Эдуард Назаров). Выпускной работой и одновременно режиссерским дебютом Александра Петрова стал мультфильм "Корова" по мотивам одноименного рассказа Андрея Платонова.
В 1981-1982 гг. работал художником-постановщиком на киностудии "Арменфильм" (Ереван, Армянская ССР, ныне - Армения), в 1982-1992 гг. - в той же должности на Свердловской киностудии (Свердловск, ныне Екатеринбург). Участвовал в создании мультфильмов Алексея Караева ("Кот в колпаке", 1984), Валерия Фомина ("По щучьему велению", 1984), Владимира Петкевича ("Сказка про козявочку", 1985) и др.
В марте 1992 г. основал в Ярославле анимационную студию "Панорама", руководителем которой является по настоящее время.
В 1996-1999 гг. жил в Монреале (Канада), работая над картиной "Старик и море". Фильм Петровы создавали всей семьей - режиссеру помогали жена и сын.
С 1999 г. постоянно живет и работает в Ярославле.
Александр Петров участвовал в создании свыше двадцати анимационных работ, из них более десяти сняты им в качестве режиссера-постановщика, а зачастую и автора сценария. Это картины "Сон смешного человека" (1992), "Русалка" (1996), "Старик и море" (1999), эпизод "Мальчик и ворон" в анимационном альманахе по мотивам поэзии Мацуо Басё "Зимние дни" (2003), "Моя любовь" (2006), видеоролики к 175-летию Российских железных дорог (2012) и церемонии открытия XI Паралимпийских зимних игр в Сочи (2014), заставка для телесериала "Домашний арест" и т. д.
Художественная манера режиссера - трудоемкая техника "ожившей живописи". Свои картины Петров рисует на белом матовом стекле, нанося прозрачные слои пальцем (по его мнению, так работать проще, чем постоянно подгонять краску под фактуру кисточки). После того как кадр фотографирует оператор, изображение на стекле стирается, и режиссер рисует следующий кадр. Таким образом, для каждой фазы движения персонажа и смены фона создается новая живописная картина.
Александр Петров - член российской академии кинематографических искусств "Ника", Союза кинематографистов РФ, Американской академии кинематографических искусств и наук, Международной ассоциации мультипликационного кино (АСИФА), Российской академии художеств. Председатель правления региональной общественной организации развития анимации "Мастерская Александра Петрова" (Ярославль, 2001 - н. в.).
Член Совета при Президенте Российской Федерации по культуре и искусству (2011 - н. в.).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. Н. К. Крупской (1990, за мультфильм "Добро пожаловать!"), Государственной премии РФ (1995).
Заслуженный деятель искусств РФ (2004).
Обладатель премии Американской киноакадемии "Оскар" (1999) в номинации "лучший анимационный фильм" (за ленту "Старик и море"), приза международного кинофестиваля в Чикаго (1986, за мультфильм "Ночь"). Лауреат российской анимационной премии "Икар" (2019, за заставку к сериалу "Домашний арест").
Александр Петров был героем документальных телесериалов "Мир анимации или анимации мира" (2001, режиссер Ирина Марголина) и "Фабрика чудес" (2005, режиссер Алексей Вахрушев). В 2010 г. исполнил роль художника Василия Перова в игровом телесериале "Достоевский" (режиссер Владимир Хотиненко).