Родился 29 апреля 1976 г. в Москве. Внук Евгения Примакова (1929-2015), советского и российского политика, дипломата, бывшего директора Службы внешней разведки (1991-1996), министра иностранных дел (1996-1998), председателя правительства РФ (1998-1999). Отец - Александр Примаков (1954-1981), был ученым-востоковедом, аспирантом Института востоковедения Академии наук СССР.
В 1999 г. Евгений Примаков - младший окончил историко-филологический факультет Российского государственного гуманитарного университета по специальности "история".
Работал журналистом на радио "Эхо Москвы", в агентстве ИТАР-ТАСС, в журнале "Коммерсант-Деньги". Публиковался в "Общей газете".
С 2002 г. - на телевидении. Был военным корреспондентом информационных программ телеканала ТВС. Работал в Израиле и Ираке, освещал военный конфликт, начавшийся со вторжения сил США и их союзников в Ирак с целью свержения режима Саддама Хусейна.
В мае 2003 г. перешел на телеканал НТВ. Был новостным и военным корреспондентом. Готовил сюжеты для программ "Сегодня", "Профессия - репортер" и др. Был в командировках в Израиле, Палестине, Афганистане, Пакистане, Ливии, Ираке.
Использовал творческий псевдоним Евгений Сандро.
В 2005-2007 гг. - шеф ближневосточного бюро НТВ. Освещал Вторую ливанскую войну (вооруженное столкновение между Израилем и радикальным шиитским движением "Хезболлах", контролировавшим южные районы Ливана), события в секторе Газа (переворот, осуществленный движением ХАМАС, а также военные операции израильской армии).
В 2007-2011 г. - корреспондент дирекции информационных программ Первого канала (программы "Новости", "Время", "Другие новости"). С апреля 2008 г. по январь 2011 г. являлся заведующим бюро Первого канала в Израиле.
В 2010 г. стал одним из учредителей, гендиректором автономной некоммерческой организации "Русская гуманитарная миссия" (Russian Humanitarian Mission), цель которой заключается в оказании помощи людям, пострадавшим в результате войн и катастроф. В настоящее время возглавляет наблюдательный совет АНО "Русская гуманитарная миссия".
С 2011 по 2014 г. работал в Управлении Верховного комиссара ООН по делам беженцев (УВКБ). В 2011-2013 гг. - в представительстве УВКБ ООН в Турции в должности специального советника по политике в отношении беженцев в городских условиях, в 2013-2014 гг. - в Иордании, в офисе директора по Ближнему Востоку и Северной Африке в Аммане в должности офицера по медиа и коммуникациям.
С марта 2015 г. был автором и ведущим программы "Международное обозрение" на телеканале "Россия-24".
В 2017-2018 гг. являлся членом Общественной палаты РФ шестого состава (назначен указом президента России). Возглавлял комиссию палаты по развитию информационного сообщества, СМИ и массовых коммуникаций, был главой координационного совета региональных средств массовой информации. Входил в совет ОП. Полномочия прекращены в 2018 г. в связи с избранием в Госдуму РФ.
С 30 мая 2017 г. был советником председателя Государственной думы VII созыва Вячеслава Володина по международным вопросам и гуманитарным проектам.
С ноября 2017 г. - секретарь Союза журналистов России.
В 2018 г. был доверенным лицом кандидата в президенты России Владимира Путина.
В 2018-2020 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва.
В июле 2018 г. партией "Единая Россия" был выдвинут кандидатом в депутаты Госдумы РФ VII созыва на дополнительных выборах по Балашовскому одномандатному округу №165 в Саратовской области. Место в нижней палате парламента стало вакантным в октябре 2017 г. в связи с назначением депутата от округа Михаила Исаева ("Единая Россия") и. о. главы Саратова.
9 сентября 2018 г. Евгений Примаков был избран депутатом Государственной думы РФ VII созыва. На довыборах в Балашовском округе №165 получил 65,15% голосов (второе место - Елена Шанина от "Коммунистов России", 11,55%). В Госдуме входил в комитет по международным делам, во фракцию "Единая Россия". С 25 сентября 2018 г. был заместителем сопредседателя Межпарламентской группы РФ (орган Федерального собрания, осуществляющий контакты с зарубежными парламентами и Межпарламентским союзом). Депутатские полномочия Примакова были прекращены досрочно 7 июля 2020 г. в связи с переходом на госслужбу.
25 июня 2020 г. указом главы государства назначен руководителем Федерального агентства по делам Содружества Независимых Государств, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничеству (Россотрудничество). Во главе ведомства сменил Элеонору Митрофанову.
Член комиссии генсовета "Единой России" по международному сотрудничеству и поддержке соотечественников за рубежом (с ноября 2021 г.).
Входит в Совет при президенте РФ по межнациональным отношениям (с марта 2023 г.).
Действительный государственный советник РФ I класса (2024).
Имеет благодарность правительства РФ (2019).