Родился 5 февраля 1944 г. в г. Москве в семье военного летчика.
В 1966 г. окончил Московское высшее техническое училище (МВТУ; ныне Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана) по специальности "инженер-конструктор", позднее - Краснознаменный институт Комитета государственной безопасности (КГБ) СССР (ныне Академия внешней разведки).
С 1966 г. года работал в Первом главном управлении (ПГУ) КГБ СССР (внешняя разведка). Длительное время работал за границей: в 1971-1974 гг. - пресс-атташе, третий секретарь посольства СССР в США, в 1979-1983 гг. - второй секретарь посольства СССР в Швеции, в 1987-1990 гг. - первый секретарь посольства СССР в Финляндии.
В 1990-1994 гг. занимал руководящие должности в центральном аппарате ПГУ КГБ СССР, Службе внешней разведки РФ.
В 1994 г. был назначен заместителем директора Службы внешней разведки РФ Евгения Примакова, в 1996-1998 гг. являлся заместителем директора СВР РФ Вячеслава Трубникова. Курировал партнерские связи с иностранными спецслужбами.
С 21 апреля 1998 г. занимал пост заместителя секретаря Совета безопасности РФ Андрея Кокошина, в сентябре - ноябре 1998 г. - заместителя секретаря Совбеза РФ Николая Бордюжи.
С 27 ноября 1998 г. по 2 августа 1999 г. - генеральный директор государственной компании "Росвооружение".
4 сентября 1999 г. был назначен первым заместителем министра торговли РФ Михаила Фрадкова. С 9 июня 2000 г. по 17 ноября 2001 г. работал первым заместителем министра промышленности, науки и технологий РФ Александра Дондукова.
С ноября 2001 г. по октябрь 2007 г. являлся генеральным секретарем Евразийского экономического сообщества (ЕврАзЭС).
9 октября 2007 г. был назначен полномочным представителем президента РФ в Южном федеральном округе (сменил Дмитрия Козака). С 14 мая 2008 г. по 14 декабря 2011 г. занимал должность полномочного представителя президента РФ в Приволжском федеральном округе (сменил Александра Коновалова).
С 18 октября 2007 г. по 24 декабря 2011 г. входил в состав Совета безопасности РФ.
В 2011-2021 гг. - государственный секретарь Союзного государства России и Белоруссии. Был назначен 25 ноября 2011 г., сменив Павла Бородина. 15 декабря 2011 г. вступил в должность. 19 марта 2021 г. на посту госсекретаря его сменил бывший посол РФ в Белоруссии Дмитрий Мезенцев.
С мая 2021 г. - член Совета Федерации РФ (сенатор) от Курской области. 22 марта 2021 г. губернатор Курской области Роман Старовойт наделил Григория Рапоту полномочиями сенатора от исполнительной власти региона. Приступил к исполнению полномочий 17 мая 2021 г.
Генерал-лейтенант запаса.
Действительный государственный советник РФ I класса (2007).
Награжден российскими орденами Почета (2005), "За заслуги перед Отечеством" III и IV ((2014, 2011) степеней, "Достык" II степени (Казахстан, 2004), Дружбы народов (Белоруссия, 2009), Почета (Белоруссия, 2021). Имеет орден РПЦ Преподобного Серафима Саровского II степени (2009). Отмечен почетными грамотами правительства (2004) и президента РФ (2009).
Владеет английским языком.
Женат, имеет сына и двух дочерей. Супруга - Татьяна Викторовна Самолис, журналист, работала в газете "Правда", затем была пресс-секретарем директора Службы внешней разведки РФ Евгения Примакова.