Родился 30 декабря 1980 г. в Красноярске.
В 2002 г. окончил исторический факультет Красноярского государственного педагогического университета (КГПУ, с 2004 г. вуз носит имя В. П. Астафьева).
В 2016-2017 гг. прошел обучение по программе подготовки и переподготовки резерва управленческих кадров Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ (РАНХиГС). В 2018 г. окончил программу развития кадрового управленческого резерва.
С февраля 2002 г. работал в профсоюзной организации студентов КГПУ. После окончания университета работал в различных коммерческих организациях.
С апреля 2003 г. - сотрудник администрации губернатора Красноярского края (до 2010 г. регион возглавлял Александр Хлопонин, затем - Лев Кузнецов). С октября 2008 г. был консультантом, руководителем пресс-службы краевого правительства, заместителем начальника управления пресс-службы главы региона, пресс-секретарем губернатора и заместителем начальника управления информационной политики.
С августа 2012 г. по июль 2014 г. - заместитель руководителя администрации губернатора Красноярского края Льва Кузнецова. Занимался координацией работы подразделений администрации, отвечающих за формирование и исполнение рабочего графика главы края.
В июле 2014 г. Михаил Развожаев занял должность советника министра РФ по делам Северного Кавказа Льва Кузнецова.
С 1 октября 2014 г. по 5 октября 2018 г. - заместитель министра РФ по делам Северного Кавказа (до мая 2018 г. ведомство возглавлял Лев Кузнецов, затем - Сергей Чеботарев).
С 3 октября по 15 ноября 2018 г. - врио главы - председателя правительства Республики Хакасия. Михаил Развожаев был назначен указом президента РФ Владимира Путина после отставки руководителя республики Виктора Зимина и снятия кандидатов с выборов главы Хакасии. Президент уточнил, что эта работа поручается Михаилу Развожаеву сроком на один месяц. По словам Владимира Путина, задача врио главы республики состояла в том, чтобы "взять под контроль" ситуацию в Хакасии и "помочь провести чистые, открытые и в полном смысле отвечающие нашим законам выборы". В итоге в повторном голосовании 11 ноября 2018 г. главой республики был избран первый секретарь Хакасского регионального отделения КПРФ Валентин Коновалов.
29 ноября 2018 г. Михаил Развожаев вошел в состав центрального штаба "Общероссийского народного фронта" (ОНФ). 17 декабря 2018 г. был утвержден руководителем исполкома ОНФ.
11 июля 2019 г. указом президента РФ Владимира Путина назначен врио губернатора Севастополя. Сменил на этом посту Дмитрия Овсянникова.
В единый день голосования 13 сентября 2020 г. избран губернатором Севастополя. За него проголосовали 85,72% избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Второе место занял кандидат от ЛДПР, депутат заксобрания города Илья Журавлев (4,95%). 2 октября того же года Михаил Развожаев официально вступил в должность. Одновременно возглавляет правительство Севастополя.
Секретарь, член президиума севастопольского регионального отделения партии "Единая Россия".
Член президиума Государственного совета РФ. С июня 2022 г. - председатель комиссии Госсовета по направлению "Образование".
Действительный государственный советник РФ II класса (2017).
Лейтенант запаса.