Родился 27 февраля 1920 г. в селе Большая Кочетовка Тамбовского района Тамбовской губернии РСФСР (ныне - Токаревский район Тамбовской обл. РФ) в крестьянской семье.
Окончил семь классов общеобразовательной школы и школу фабрично-заводского обучения в Воронеже. В 1939 г. был призван в Рабоче-крестьянскую Красную армию. Весной 1941 г. окончил Борисоглебовскую военную авиационную школу пилотов (ныне - Борисоглебский учебный авиационный центр подготовки летного состава имени В. П. Чкалова, Воронежская обл.), получив звание младшего лейтенанта.
Великая Отечественная война
В июне - октябре 1941 г. служил летчиком в 28-м истребительном авиационном полку противовоздушной обороны (иап ПВО) в составе 15-й смешанной авиационной дивизии Киевского особого военного округа. С началом Великой Отечественной войны полк принимал участие в Приграничном сражении и Киевской оборонительной операции. Первую победу в воздушном бою Алексей Рязанов одержал уже 22 июня 1941 г., сбив немецкий самолет-разведчик Henschel HS 126 ("Хеншель ха-эс-126") в районе г. Новоград-Волынского.
С октября 1941 г. по июнь 1942 г. Алексей Рязанов проходил службу в 736-м иап (сформирован на базе 28-го иап) в составе 6-го истребительного авиационного корпуса Московской зоны ПВО. Занимался защитой Москвы и военных объектов от воздушных налетов противника, вылетал на прикрытие наземных войск.
30 июня 1942 г. в составе девяти летчиков полка был откомандирован в 4-й иап 8-й воздушной армии, находившийся в то время на Сталинградском фронте. С июня 1942 г. служил в 4-м иап, воевал на Сталинградском, Южном, Брянском, Северо-Кавказском, 2-м Прибалтийском и Ленинградском фронтах. Принимал участие в Сталинградской и Курской битвах, в Ростовской, Брянской, Ленинградско-Новгородской, Прибалтийской и Восточно-Прусской наступательных операциях. В июле 1942 г. в звании старшего лейтенанта Алексей Рязанов принял командование эскадрильей полка. В 1942 г. получил звание капитана. 28 августа 1943 г. за проявленный героизм и отвагу в боях с немецкими захватчиками (сбил 16 самолетов противника лично и 16 - в групповых боях) капитану Алексею Рязанову было присвоено звание Героя Советского Союза.
После ранения, полученного в воздушном бою 26 января 1945 г. в районе г. Салдус (Латвия), "за беспримерный героизм и мужество в боях с врагом" майор Алексей Рязанов был во второй раз представлен к званию Героя Советского Союза. Командир полка, подполковник Александр Марков, в этом представлении характеризовал Рязанова как лучшего летчика соединения.
В феврале 1945 г. Рязанов стал заместителем командира полка, инспектором-летчиком по технике пилотирования и теории полета 4-го истребительного авиационного полка. По итогам боевой деятельности 4-й иап вошел в число самых результативных авиаполков по количеству сбитых самолетов противника во время Великой Отечественной войны, занимая 8-е место.
Всего за годы войны Алексей Рязанов совершил 509 боевых вылетов, провел более 100 воздушных боев. Сбил 32 самолета противника лично и 16 - в группе. Занимал 35-е место среди советских летчиков-асов по результативности. Трижды был ранен в воздушных боях. Летал на самолетах И-16, Hawker Hurricane ("Хокер Харрикейн"), Як-1, Як-7, Як-9.
Послевоенная служба
После окончания войны Рязанов занимался штабной работой.
В 1950 г. окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе, затем служил в штабе Московского военного округа.
В 1958 г. окончил Академию Генерального штаба ВС СССР. С 1959 г. служил в штабе ВВС СССР. С 1962 г. проходил службу в штабе войск ПВО СССР.
В 1970 г. получил звание генерал-майора авиации.
В 1975 г. был зачислен в запас по состоянию здоровья.
1 августа 1992 г. Алексей Рязанов скончался в возрасте 72 лет. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.
Дважды Герой Советского Союза (1943, 1945). Был награжден тремя орденами Ленина (1942, 1943, 1955), четырьмя орденами Красного Знамени (1943, 1944, 1945, 1954), орденом Александра Невского (1943), двумя орденами Отечественной войны I степени (1944, 1985), двумя орденами Красной Звезды (1941, 1954), орденом "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени (1975).
Заслуженный военный летчик СССР (1967).