Родился 13 января 1962 г. в поселке городского типа Новый Карачай Карачаевского района Карачаево-Черкесской автономной области (ныне Карачаево-Черкесская Республика, КЧР). По национальности - карачаевец.
В 1984 г. окончил Ставропольский сельскохозяйственный институт по специальности "агрономия", получив квалификацию ученого агронома. В 2005 г. получил диплом Московского государственного социального университета Министерства труда и социального развития РФ (ныне - Российский государственный социальный университет") по специальности "финансы и кредит" с присвоением квалификации экономиста.
В 1978-1984 гг. был мастером производства в тресте "Карачайчеркеспромстрой".
С 1984 по 1995 г. работал в совхозе "Верхне-Кубанский" экономистом по труду и заработной плате, главным экономистом, заместителем директора по подсобным и малым предприятиям.
В 1995-1996 гг. возглавлял отделение федерального казначейства по Карачаевскому району и г. Карачаевску.
В 1996-1999 гг. - председатель правления акционерного коммерческого банка "Карачаевск-прогресс".
Занимался предпринимательской деятельностью.
В 2003-2006 гг. Ахмат Салпагаров занимал должности исполнительного директора, генерального директора ООО "Инвестиционно-строительная компания "Кубанское".
В 2006-2009 гг. Ахмат Салпагаров был заместителем управляющего Карачаево-Черкесским филиалом "Связь-банка".
В 2007 г. стал учредителем и совладельцем ООО "Карачаево-Черкесский финансовый оператор связи" (ликвидировано в 2009 г.).
С июля 2009 г. по июнь 2015 г. руководил Карачаево-Черкесским республиканским казенным предприятием "Дирекция капитального строительства" (ранее предприятие возглавлял Рашид Темрезов, с 2011 г. - глава республики). Дирекция капстроительства занимается заключением госконтрактов и распределением средств федерального и республиканского бюджетов на строительство крупных инфраструктурных объектов в республике.
14 сентября 2014 г. Ахмат Салпагаров был избран депутатом парламента Карачаево-Черкесской Республики V созыва. Баллотировался в составе списка кандидатов от регионального отделения партии "Единая Россия" под десятым номером.
Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе, совмещая их с руководством Дирекцией капитального строительства.
9 июня 2015 г. депутаты республиканского парламента единогласно наделили Ахмата Салпагарова полномочиями члена Совета Федерации РФ (сенатора) - представителя от Народного собрания (парламента) Карачаево-Черкесской Республики. На посту сенатора он сменил Мурата Суюнчева, который досрочно покинул Совет Федерации и возглавил отделение Пенсионного фонд РФ по республике. Ахмат Салпагаров вновь был наделен полномочиями сенатора 24 сентября 2019 г.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2018).