Родился 25 мая 1971 г. в Новосибирске.
В 2001 г. окончил Новосибирскую государственную академию экономики и управления по специальности "финансы и кредит", в 2009 г. - Сибирскую академию государственной службы по специальности "юриспруденция", а в 2012 г. - Российскую академию народного хозяйства и государственной службы при президенте Российской Федерации по специальности "государственное и муниципальное управление".
После окончания вуза занимался предпринимательской деятельностью в Новосибирске. В 2002-2008 гг. был директором ООО "Фундаментстрой", а в 2008-2009 гг. возглавлял ООО "Стройиндустрия".
В 2008 г. вступил в Либерально-демократическую партию России (ЛДПР). В 2009-2013 гг. был координатором Кемеровского регионального отделения ЛДПР.
В октябре 2010 г. участвовал в выборах главы г. Новокузнецка (Кемеровская область), по итогам голосования занял третье место, получив 8,41% голосов.
В 2010-2011 гг. был помощником депутата Государственной думы V созыва Аркадия Свистунова по работе в Кемеровской области.
4 декабря 2011 г. избран депутатом Госдумы VI созыва по списку ЛДПР (первый номер в региональной группе 44, Кемеровская область). С декабря 2011 г. по январь 2012 г. входил в состав комитета Госдумы по финансовому рынку, затем был заместителем председателя этого комитета. Член фракции ЛДПР.
В апреле 2014 г. был кандидатом в мэры Новосибирска от ЛДПР, по итогам голосования набрал 2,4% голосов (пятое место). В сентябре того же года баллотировался на пост губернатора Новосибирской области, получил 18,8% голосов (третье место). Главой региона был избран бывший мэр Новосибирская Владимир Городецкий от "Единой России".
В сентябре 2015 г. принял участие в выборах в Законодательное собрание Новосибирской области VI созыва (второй номер в территориальной группе 9), по итогам распределения мест в заксобрание не прошел.
18 сентября 2016 г. был избран депутатом Госдумы РФ VII созыва по списку ЛДПР (первый номер в региональной группе №96, Новосибирская область). Является первым заместителем председателя комитета Госдумы по безопасности и противодействию коррупции. Член фракции ЛДПР.
В марте 2021 г. стало известно, что Дмитрий Савельев сложил членство в партии ЛДПР, чтобы принять участие в выборах в Госдуму VIII созыва от "Единой России".
19 июня 2021 г. на предвыборном съезде "Единой России" был включен в список кандидатов от партии на выборы в Госдуму VIII созыва по Центральному одномандатному округу №136 (Новосибирская область) и в составе региональной группы №8 (Новосибирская, Омская области).
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва от "Единой России". Был избран 19 сентября 2021 г. по Центральному одномандатному избирательному округу №136 (Новосибирская обл.). Набрал 40,71% голосов (второе место в округе занял сотрудник мэрии Новосибирска Ренат Сулейманов от КПРФ, 19,82%). В Думе Дмитрий Савельев вошел во фракцию "Единая Россия".
Сторонник партии "Единая Россия".
Имеет благодарность правительства РФ (2015).