Родилась 24 марта 1906 г. в Харькове (Российская империя, ныне Украина) в семье Ивана Ивановича и Веры Александровны Шульженко. Ее отец работал бухгалтером в железнодорожном управлении.
В детстве Клавдия Шульженко начала исполнять народные песни. В годы учебы в женской гимназии Екатерины Драшковской брала частные уроки вокала и нотной грамоты у педагога Николая Чемезова (впоследствии он стал профессором Харьковской консерватории).
В 1923-1925 гг. - актриса Харьковского русского драматического театра под руководством Николая Синельникова. Исполняла в спектаклях музыкальные номера.
В 1925-1927 гг. была актрисой Червонозаводского театра Харькова. Также выступала на эстрадных площадках города.
С 1929 г. Клавдия Шульженко являлась артисткой Ленгосэстрады, была солисткой джаз-оркестра под управлением Якова Скоморовского. В 1936 г. вышли ее первые граммофонные записи.
В 1939 г. в Москве певица стала лауреатом I Всесоюзного конкурса артистов эстрады.
В 1940 г. Клавдия Шульженко вместе с мужем, певцом Владимиром Коралли, создала в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) джаз-оркестр.
В начале Великой Отечественной войны коллектив получил звание Ленинградского фронтового джаз-ансамбля. В его составе Клавдия Шульженко провела более 500 выступлений перед бойцами Красной армии. Широкую известность в ее исполнении получили фронтовые песни "Синий платочек" (музыка Ежи Петерсбурского, стихи Михаила Максимова) и "Давай закурим" (музыка Модеста Табачникова, стихи Ильи Френкеля).
С 1943 г. Клавдия Шульженко была артисткой Всероссийского гастрольно-концертного объединения, впоследствии - артисткой Москонцерта. С 1945 г. выступала сольно. В 1947 г. она исполнила песню "Где же вы теперь, друзья-однополчане?" (музыка Василия Соловьева-Седого, стихи Алексея Фатьянова), которая впоследствии заняла особое место в ее репертуаре. Шульженко называла ее одной из самых "интимных" песен, поскольку это "диалог человека с самим собой".
В послевоенные годы Клавдия Шульженко внесла большой вклад в развитие советской эстрады. Для ее исполнительской манеры были характерны интонации разговорной речи, выразительные мимика и пластика. В концерты певицы включались как военные песни, так и эстрадные композиции. Большую популярность получил ряд лирических песен, в числе которых "Вальс о вальсе" (музыка Эдуарда Колмановского, стихи Евгения Евтушенко), "Песенка для родителей" (музыка Александра Цфасмана, стихи Льва Визена), "Три вальса" (музыка Александра Цфасмана, стихи Людмилы Давидович и Виктора Драгунского).
Клавдия Шульженко скончалась 17 июня 1984 г. в Москве на 79-м году жизни. Похоронена на столичном Новодевичьем кладбище.
Народная артистка СССР (1971).
Была награждена орденами Трудового Красного Знамени, Красной Звезды (1945), Ленина (1976), медалями "За оборону Ленинграда" (1942), "За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг." (1945) и др.
В 1981 г. выпустила книгу мемуаров "Когда вы спросите меня...".
За Владимиром Коралли (настоящее имя Вольф-Бер Кемпер, 1905-1995; заслуженный артист РСФСР) была замужем в 1930-1956 гг. Их сын, Игорь Кемпер (1932-2020), работал в системе предприятий энергетического комплекса Москвы. После развода гражданским мужем певицы был заслуженный деятель искусств РСФСР кинооператор Георгий Епифанов (1918-1997).