Родился 15 декабря 1934 г. в Минске Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия). Его отец - Станислав Петрович Шушкевич (1908-1991), поэт и прозаик, был дважды репрессирован в 1937 и 1949 гг., 13 лет провел в заключении и ссылке, в 1975 г. - полностью реабилитирован. Мать - Елена Людвиковна Романовская (1908-1980), писательница и переводчица, работала учительницей.
В 1956 г. Станислав Шушкевич окончил физико-математический факультет Белорусского государственного университета (БГУ), в 1959 г. - аспирантуру Института физики Академии наук Белорусской ССР (АН БССР) по специальности "радиоспектроскопия".
Доктор физико-математических наук. В 1963 г. в БГУ защитил кандидатскую диссертацию по физико-математическим наукам на тему "Физические принципы выявления разведывательных приемников". В 1970 г. во Всесоюзном научно-исследовательском институте оптико-физических измерений (Москва) защитил докторскую диссертацию на тему "Информационные параметры сигналов".
Профессор (1972). Член-корреспондент Национальной академии наук Белоруссии (1991).
В 1956-1960 гг. был младшим научным сотрудником Института физики АН БССР.
С 1960 по 1961 г. - старший инженер специального конструкторского бюро Минского радиозавода.
В 1961-1967 гг. работал в Белорусском государственном университете: старшим инженером, главным инженером лаборатории ядерной физики, заведующим сектором.
В 1967-1969 гг. занимал должность проректора по научной работе Минского радиотехнического института.
С 1968 г. являлся членом Коммунистической партии Советского Союза (КПСС). В мае 1990 г. вышел из КПСС.
В 1969 г. вернулся Белорусский госуниверситет. До 1990 г. занимал должности доцента, профессора, заведующего кафедрой ядерной физики, проректора по научной работе.
В 1989-1991 гг. - депутат Верховного Совета СССР (был выдвинут от БГУ). Одновременно в 1990 г. был избран депутатом Верховного Совета БССР XII созыва. С 19 мая 1990 г. по 25 августа 1991 г. занимал должность первого заместителя председателя Верховного Совета БССР Николая Дементея.
В августе 1991 г. Станислав Шушкевич осудил попытку государственного переворота, предпринятую членами Государственного комитета по чрезвычайному положению (ГКЧП), в который вошли представители высшего государственного и партийного руководства СССР. 25 августа 1991 г., после провала путча, Николай Дементей, поддержавший ГКЧП, был вынужден уйти в отставку. В тот же день Станислав Шушкевич был назначен и. о. председателя ВС БССР.
19 сентября 1991 г. Верховный Совет принял закон о переименовании Белорусской ССР в Республику Белоруссия.
18 октября 1991 г. Станислав Шушкевич был избран председателем Верховного Совета республики.
7-8 декабря 1991 г. в Беловежской Пуще участвовал во встрече лидеров РСФСР, Белоруссии и Украины. 8 декабря вместе с Борисом Ельциным и Леонидом Кравчуком подписал Соглашение о создании Содружества Независимых Государств, в преамбуле которого констатировалось, что "Союз ССР как субъект международного права и геополитическая реальность прекращает свое существование". Верховный Совет Белоруссии во главе с Шушкевичем ратифицировал документ 10 декабря 1991 г.
В январе 1994 г. на заседании Верховного Совета председатель временной антикоррупционной комиссии парламента Александр Лукашенко обвинил руководство ВС и правительства Белоруссии в превышении власти и коррупции. В результате 26 января Верховный Совет провел голосование о доверии председателю парламента Станиславу Шушкевичу, премьеру республики Вячеславу Кебичу и др. По итогам голосования Станислав Шушкевич был снят с поста спикера. После отставки и до прекращения полномочий ВС XII созыва 9 января 1996 г. он оставался депутатом белорусского парламента.
23 июня 1994 г. Станислав Шушкевич участвовал в первых выборах президента Белоруссии. По итогам первого тура занял четвертое место (9,91% голосов), уступив Александру Лукашенко (44,82%), который на тот момент являлся народным депутатом Белоруссии, директором совхоза "Городец", а также премьер-министру республики Вячеславу Кебичу (17,33%) и лидеру Белорусского народного фронта Зенону Позняку (12,82%).
После избрания Александра Лукашенко президентом республики Станислав Шушкевич перешел в оппозицию. В ноябре 1996 г. он подписал обращение в Конституционный суд Белоруссии об импичменте главе государства. Кроме того, он не признал итоги референдума 24 ноября 1996 г. об изменении конституции, которые значительно расширили полномочия президента (республика фактически перешла от парламентской к президентской форме правления).
В 1998-2018 гг. Шушкевич являлся председателем оппозиционной партии "Белорусская социал-демократическая Грамада", с ноября 2018 г. был почетным председателем партии.
На пенсии выступал с лекциями в различных университетах России, США, Литвы, Польши и др.
Скончался 3 мая 2022 г. в Минске. Похоронен на Северном кладбище белорусской столицы.
Лауреат премии Совета министров СССР (1985), Государственной премии БССР (1988; за учебник для высших учебных заведений "Основы радиоэлектроники").
Заслуженный деятель науки и техники БССР (1982).
Автор книги воспоминаний "Моя жизнь, крушение и воскрешение СССР" (2012) и более 150 научных публикаций, в т. ч. трех монографий и учебника, 72 изобретений.
Был женат, имел двоих детей - дочь Елену и сына Станислава.