Родился 30 августа 1920 г. в Минске в семье бухгалтера и домохозяйки.
При рождении получил имя Израиль. Сменил его возрасте 40 лет, поскольку, по собственному свидетельству Шварцмана, с детства "все вокруг" звали его Лёлей.
В 1941 г. окончил школу при Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры (ныне Санкт-Петербургский государственный академический институт живописи, скульптуры и архитектуры им. И. Е. Репина при Российской академии художеств). В 1951 г. окончил в Москве художественный факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ВГИК, ныне Всероссийский государственный университет кинематографии им. С. А. Герасимова).
Во время Великой Отечественной войны работал учеником токаря, затем токарем на Кировском заводе в Ленинграде, а с ноября 1941 г. - в эвакуации на танковом заводе в Челябинске.
В 1948 г., не прерывая обучения на третьем курсе ВГИКа, пришел на московскую киностудию "Союзмультфильм" ассистентом режиссера. Проработал на студии более 50 лет, до 2001 г. В 1951-1975 гг. - художник-постановщик анимационных фильмов (до 1963 г. - в соавторстве с Александром Винокуровым). В качестве художника-постановщика работал с режиссерами Львом Атамановым ("Аленький цветочек", 1952; "Золотая антилопа", 1954; "Пес и кот", 1955; "Снежная королева", 1957; "Котенок по имени Гав", 1976-1980), Иваном Аксенчуком ("Дядя Стёпа - милиционер", 1964), Романом Качановым ("Варежка", 1967; четыре мультфильма о Крокодиле Гене и Чебурашке, 1971-1983; "Аврора", 1973), Иваном Уфимцевым ("38 попугаев"; 1976-1992). Многие из этих картин были отмечены призами международных фестивалей. Леонид Шварцман создал внешний облик одного из самых известных персонажей советской анимации - Чебурашки.
С 1975 г. работал режиссером на "Союзмультфильме". После смерти Льва Атаманова снял пятую серию из цикла о котенке по имени Гав (1982). Наиболее известная режиссерская работа Шварцмана - семь частей анимационного фильма "Обезьянки" (1983-1997), отдельные серии были удостоены призов фестивалей в Тампере (Финляндия; 1983) и Минске (1984).
В числе других работ режиссера - "Как верблюжонок и ослик в школу ходили" (1975), "Я жду тебя, кит!" (1986), "Доверчивый дракон" (1988), "Всех поймал" (1989), "Невиданная, неслыханная" (1990).
Леонид Шварцман также известен как иллюстратор детских книг и классических литературных произведений. В этом качестве сотрудничал с советскими издательствами "Малыш", "Детгиз", "Просвещение", студией "Диафильм" и др. В 2010 г. был издан альбом работ художника "Классик по имени Лёля в стране Мультипликации".
В 2000-х гг. снялся в нескольких документальных фильмах, посвященных анимационному кино.
Леонид Шварцман скончался 2 июля 2022 г. на 102-м году жизни. Похоронен в селе Заречье Киржачского района Владимирской обл.
Был награжден орденом Александра Невского (2020, "за большой вклад в развитие отечественной культуры и искусства, многолетнюю плодотворную деятельность") и медалями, в т. ч. "За оборону Ленинграда".
Народный художник Российской Федерации (2002, "за большие заслуги в области искусства"), заслуженный художник РСФСР (1981, "за заслуги в области советского киноискусства"). Лауреат премии президента РФ в области литературы и искусства за произведения для детей и юношества (2017, "за вклад в развитие отечественного анимационного искусства").
Ветеран труда.
Обладатель приза "За вклад в профессию" (2006, XI Открытый российский фестиваль анимационного кино в Суздале), лауреат премии "Голливуд - детям" Детского фонда Одри Хепбёрн (1997). Был членом академии кинематографических искусств "Ника" и Международной ассоциации мультипликационного кино (АСИФА), почетным директором Московского музея анимации.
Персональные выставки художника проходили в 2000, 2011 и 2023-2024 гг. в Москве.
Леонид Шварцман был женат на Татьяне Домбровской (1925-2021), художнике-аниматоре, ассистенте режиссера.