Родился 10 февраля 1921 г. в деревне Мартыново Кунгурского уезда Пермской губернии РСФСР (ныне в Кунгурском районе Пермского края РФ).
В 1939 г. окончил Пермский авиационный техникум (ныне Пермский авиационный техникум им. А. Д. Швецова), занимался в городском аэроклубе.
С августа по декабрь 1939 г. работал в Перми лаборантом термической лаборатории на авиастроительном заводе №19.
С декабря 1939 г. - в Рабоче-крестьянской Красной армии. В сентябре 1940 г. стал выпускником Молотовской военной авиационной школы летчиков (Пермь была переименована в Молотов в 1940 г., это название сохранялось до 1957 г.).
Служил в военно-воздушных силах летчиком 2-й (с 1941 г. - 202-й) корпусной авиационной эскадрильи, сначала дислоцированной в Киевском, а с 1941 г. - в Одесском военном округе. Пилотировал самолет-разведчик Р-5.
После начала Великой Отечественной войны в период с июля по декабрь 1941 г. Григорий Сивков прошел переобучение на легкий бомбардировщик Су-2 в учебно-тренировочном авиацентре Южного фронта, позднее освоил штурмовик Ил-2. В боевых действиях принимал участие с декабря 1941 г. Вплоть до мая 1942 г. воевал на Южном фронте летчиком 210-го ближнебомбардировочного авиационного полка, участвовал в оборонительных боях на Донбассе.
С мая 1942 г. последовательно занимал должности командира звена, заместителя командира авиаэскдрильи, командира авиаэскадрильи, штурмана 210-го штурмового авиаполка.
Принимал участие в боях на Южном (май - июль 1942 г.) и Северо-Кавказском фронтах (июль - август 1942, затем январь - ноябрь 1943), в составе Северной группы войск Закавказского фронта (август 1942 - ноябрь 1943), Отдельной Приморской армии (ноябрь 1943 - май 1944), на 3-м Украинском фронте (июль 1944 - май 1945). Прошел Харьковское сражение, битву за Кавказ, участвовал в Новороссийско-Таманской, Крымской, Ясско-Кишиневской, Белградской, Будапештской, Балатонской, Венской и Грацско-Амштеттенской операциях.
24 июня 1942 г. машина Григория Сивкова получила повреждения, а сам летчик был ранен в голову, однако смог совершить посадку в расположении советских войск. 17 сентября 1943 г. в районе станицы Ахтанизовская (Темрюкский район Краснодарского края) самолет Сивкова был подбит зенитным огнем и вынужденно сел на территории, занятой противником. Летчик из звена Сивкова, Николай Калинин, с девятого захода приземлил свой Ил-2 рядом с подбитым самолетом командира и успешно эвакуировал сбитый экипаж.
Указом Президиума Верховного совета СССР от 4 февраля 1944 г. старшему лейтенанту Григорию Сивкову было присвоено почетное звание Героя Советского Союза ("за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство").
Всего за время войны Сивков совершил 246 боевых вылетов (42 - на бомбардировщике Су-2 и 204 - на штурмовике Ил-2). Его машины пять раз подбивали. По результатам вылетов указом Президиума Верховного совета СССР от 18 августа 1945 г. майор Сивков был вторично удостоен звания Героя Советского Союза.
После окончания Великой Отечественной войны продолжал службу в ВВС на должности штурмана Ил-2 в 210-го штурмовом авиационном полку в Центральной группе войск (Австрия).
В июле 1952 г. Григорий Сивков окончил с золотой медалью Военно-воздушную инженерную академию им. Н. Е. Жуковского в Москве. С июля 1952 г. по октябрь 1953 г. служил летчиком-испытателем Государственного научно-испытательного института ВВС (ныне Государственный летно-испытательный центр Минобороны им. В. П. Чкалова). Участвовал в испытаниях самолетов МиГ-15 и Ил-10, вертолета Ми-1.
В 1956 г. окончил адъюнктуру Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского в Москве. Преподавал в этом военном учебном заведении на кафедре инженерно-авиационной службы (декабрь 1956 - май 1957), был начальником лаборатории кафедры динамики полета (май 1957 г. - февраль 1966), старшим преподавателем (февраль 1966 - декабрь 1972), затем начальником кафедры безопасности полетов (декабрь 1972 - январь 1986).
Кандидат технических наук (1957), доцент (1968).
В начале 1986 г. уволился в запас из рядов Вооруженных сил. Продолжал работать в академии им. Жуковского старшим научным сотрудником.
Григорий Сивков скончался 20 ноября 2009 г. в Москве на 89-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище столицы.
Генерал-майор авиации (1984). Летчик-испытатель 3-го класса (1952).
Был награжден орденами Ленина (1944), Октябрьской Революции (1978), тремя орденами Красного Знамени (1942, 1943, 1945), орденом Александра Невского (1944), двумя орденами Отечественной войны I степени (1943, 1985), орденом Красной Звезды (1955), медалями, также имел иностранные ордена и медали.
Почетный гражданин Перми (1973).
Автор более 70 научных публикаций, книг "Готовность номер один" (1973) и "Готовность номер один: шестьдесят лет спустя" (2006).
Был дважды женат. Первая супруга - Герой Советского Союза, летчица 46-го гвардейского ночного бомбардировочного авиационного полка Екатерина Рябова (1921-1974). Вторая супруга - Ольга Доброленская. Дочери: Наталья, Ирина.