Родился 20 июля 1974 г. в г. Ростове-на-Дону. Его отец, Борис Николаевич Слюсарь (1942-2015), был гендиректором (2000-2014) и председателем совета директоров (2014-2015) ОАО "Роствертол" (с 2016 г. - Ростовский вертолетный производственный комплекс "Публичное акционерное общество "Роствертол" им. Б. Н. Слюсаря", Ростов-на-Дону).
В 1996 г. Юрий Слюсарь окончил юридический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова с присвоением квалификации "юрист", в 2003 г. - аспирантуру Академии народного хозяйства при правительстве РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
Кандидат экономических наук. В 2007 г. в Южном федеральном университете защитил диссертацию по теме "Кибернетический подход к организации управления в корпоративных системах".
После окончания МГУ работал в коммерческих структурах, занимался продюсерским и звукозаписывающим бизнесом.
В 2003-2009 гг. - коммерческий директор ОАО "Роствертол". Одновременно с 2005 по 2007 г. руководил комитетом вертолетных программ ОАО "Объединенная промышленная корпорация "Оборонпром" (Москва).
Затем находился на государственной службе. В 2009-2010 гг. - помощник министра промышленности и торговли РФ Виктора Христенко.
С октября 2010 г. по май 2012 г. - директор департамента авиационной промышленности Минпромторга России.
С мая 2012 г. по январь 2015 г. занимал должность заместителя министра промышленности и торговли РФ Дениса Мантурова.
С 2015 г. возглавлял ПАО "Объединенная авиастроительная корпорация" (с 2018 г. ОАК входит в состав госкорпорации "Ростех"). В 2015-2019 гг. - президент компании (сменил Михаила Погосяна), с 2019 по 2024 г. - генеральный директор.
Параллельно в 2017-2019 гг. являлся президентом научно-производственной корпорации "Иркут" (с 2023 г. - ПАО "Яковлев", Москва), действующей в структуре ОАК.
В 2020-2022 гг. - гендиректор ПАО "Компания "Сухой" (совмещал руководство ОАК и дочерней компанией "Сухой" до завершения процесса их объединения).
4 ноября 2024 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио губернатора Ростовской области (во главе региона сменил Василия Голубева).
Член высшего совета Всероссийской политической партии "Единая Россия" (с декабря 2017 г.).
Был вице-президентом общероссийской общественной организации "Союз машиностроителей России".
Действительный государственный советник РФ III класса (2013).
Награжден орденом Почета (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2017).
Почетный авиастроитель (2011).