Родился 8 августа 1949 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Отец был инженером-испытателем морских судов, мать погибла через два года после его рождения. Воспитывался дедом, русским писателем Иваном Сергеевичем Соколовым-Микитовым.
В 1967 г. окончил с серебряной медалью московскую Среднюю специальную музыкальную школу им. Гнесиных по специализации "скрипка-альт", в 1968 г. - экстерном теоретическое отделение музыкального училища при Московской консерватории. Высшее образование получил в 1973 г., окончив с отличием теоретико-композиторский факультет Московской консерватории. В 1974-1979 гг. - аспирант Московской консерватории по специальности "музыкальное искусство".
Доктор искусствоведения. В 1980 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "О роли звукового материала в системе музыкальных средств", в 1992 г. - докторскую на тему "Музыкальная композиция ХХ века: диалектика творчества". Профессор (1993).
До 1979 г. преподавал музыкально-теоретические дисциплины в Государственном музыкальном училище им. Гнесиных.
В 1979 г. начал преподавать в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. В 1983-1988 гг. был секретарем партийного бюро, в 1988-1992 гг. - доцентом кафедры теории музыки, в 1992-2001 гг. - проректором по научной работе. С 1996 г. по настоящее время заведует кафедрой теории музыки консерватории.
С 2000 г. исполнял обязанности, а с 2001 по 2004 г. занимал должность ректора Московской консерватории.
9 марта 2004 г. был назначен министром культуры и массовых коммуникаций РФ в правительстве Михаила Фрадкова, а в сентябре 2007 г. вошел в состав кабинета министров Виктора Зубкова. Сменил на посту министра Михаила Швыдкова и занимал должность до 12 мая 2008 г. Выступал против реституции (возврата) культурных ценностей Германии и ее бывшим союзникам в годы Второй мировой войны.
В 2006-2015 гг. - председатель диссертационного совета Московской консерватории.
В декабре 2007 г. во главе московского регионального списка от партии "Справедливая Россия" прошел в ходе выборов в Государственную думу РФ V созыва. От депутатского мандата отказался.
В 2009 г. вернулся в Московскую консерваторию. С 5 февраля исполнял обязанности ректора, а 2 июня 2009 г. был избран ректором. Является председателем ученого совета вуза (с 2009 г.). В 2020 г. - снова и. о. ректора.
По инициативе Александра Соколова в Московской консерватории были введены новые программы обучения для аспирантов оркестрового, дирижерско-хорового факультетов, ориентированные на проблематику современной музыки, а также созданы новые творческие коллективы, в частности, Камерный хор Московской консерватории.
С 2016 г. является членом коллегии Министерства культуры РФ.
Председатель Совета ректоров консерваторий РФ (с 2008 г.) и Совета ректоров консерваторий государств - участников СНГ (с 2010 г.), Общества теории музыки (с 2011 г.), правления Московского музыкального общества (с 2013 г.), президент Международного союза музыкальных деятелей (с 2015 г.).
Президент совета Всероссийской организации интеллектуальной собственности (с марта 2016 г.).
Член Союза композиторов России. Действительный член ряда российских и международных академий. Является почетным доктором и профессором многих университетов и академий Европы и Азии.
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства за 2003 г. (присуждена за музыкально-просветительскую программу "Академия музыки - новое передвижничество"). Награжден орденом Почета (2012). Отмечен почетными грамотами президента РФ (2009) и председателя правительства РФ (2006).
Среди иностранных наград - орден Среднего креста со звездой Венгерской республики (2006), японский орден Восходящего солнца (2016).
Лауреат международной общественной премии "Почетный меценат и Благотворитель Мира - 2005", международной общественной премии Андрея Первозванного "За веру и верность" (2011), конкурса "Персона года" за выдающийся вклад в развитие музыкального образования в России (2012).
Обладатель премии Союза журналистов России "Солидарность" (2021).
Заслуженный деятель искусств РФ (1999).
Автор свыше 60 научных работ по теории музыки (книг, статей, учебных пособий). Среди них монографии "Музыкальная композиция ХХ века: диалектика творчества" (1992), "Музыка вокруг нас" (1996), "Введение в музыкальную композицию ХХ века" (2004), "Музыка в зеркале времен" (2008).
Женат, трое дочерей. Супруга - Лариса Панфиловна Соколова, кандидат искусствоведения, профессор, заведует кафедрой музыковедения и композиции Государственного музыкально-педагогического института им. М. М. Ипполитова-Иванова (Москва).