Родился 18 июня 1950 г. в с. Алнаши Алнашского района Удмуртской АССР (ныне - Удмуртская Республика).
В 1993 г. окончил Ижевский сельскохозяйственный институт по специальности "инженер-механик" (ныне - Ижевская государственная сельскохозяйственная академия).
В 1968-1969 гг. работал формовщиком, стропальщиком на металлургическом заводе в г. Ижевске.
В 1969-1970 гг. проходил службу в рядах Вооруженных сил СССР, в морской пехоте на Дальнем Востоке.
В 1970-1972 гг. работал формовщиком-литейщиком Ижевского электромеханического завода, стропальщиком Алнашской передвижной механизированной колонны №5 объединения "Удмуртколхозстрой", формовщиком Ижевского опытно-показательного редукторного завода.
В 1972-1979 гг. - фрезеровщик, литейщик, инженер-технолог, мастер Ижевского электромеханического завода.
С 1979 г. работал на производственном объединении "Удмуртавтодор". С 1979 г. по 1983 г. - механик, прораб, начальник Алнашского дорожно-строительного управления №5. В 1983-1987 гг. - начальник Глазовского дорожного ремонтно-строительного участка, затем Глазовского дорожно-строительного управления №6; в 1987-1993 гг. - начальник Ижевского дорожно-строительного управления №1.
С 1993 г. по 2003 г. - начальник государственного учреждения "Управление автомобильными дорогами Удмуртской Республики" Государственной службы дорожного хозяйства России.
В 1999-2012 гг. избирался депутатом Государственного совета Удмуртской Республики второго, третьего, четвертого и пятого созывов. В 2003-2007 гг. являлся первым заместителем председателя Госсовета третьего созыва. С 11 декабря 2007 г. по 25 апреля 2013 г. занимал пост председателя республиканского парламента четвертого и пятого созывов.
С апреля 2013 г. по февраль 2014 г. - член Совета Федерации Федерального собрания РФ, представитель от законодательного органа государственной власти Удмуртской Республики.
19 февраля 2014 г. указом президента РФ Владимира Путина назначен временно исполняющим обязанности главы Удмуртской Республики. Предыдущий глава Удмуртии Александр Волков был освобожден от должности руководителя региона в связи с истечением срока полномочий.
14 сентября 2014 г. Александр Соловьев одержал победу на выборах главы Удмуртии, получив 84,84% голосов избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Владимир Чепкасов набрал 7,65%. 22 сентября состоялась церемония инаугурации.
3 апреля 2017 г. Главное управление по расследованию особо важных дел Следственного комитета России возбудило уголовное дело в отношении Александра Соловьева в связи с совершением им преступлений, предусмотренных частью 6 статьи 290 УК РФ ("получение взятки должностным лицом, занимающим государственную должность Российской Федерации, в особо крупном размере")". По версии следствия, в 2014-2016 гг. Соловьев получил от организаций, осуществляющих строительство мостов через реки Кама и Буй у г. Камбарки, 139 млн руб., а также доли участия в коммерческой организации стоимостью 2,7 млн руб.
3 апреля 2017 г. в отношении Александра Соловьева было возбуждено уголовное дело по двум эпизодам получения взятки в особо крупном размере.
4 апреля того же года президент РФ Владимир Путин своим указом отрешил Соловьев от должности главы Удмуртии в связи с утратой доверия главы государства.
По данным следствия, в 2014-2016 гг. глава республики получил 139 млн руб. и долю в коммерческой организации номинальной стоимостью 2,7 млн руб. от компаний, получивших госконтракты на строительство мостов через реки Кама и Буй. За это Соловьев обспечивал им внеочередную оплату выполняемых работ, а также выделение лицензий на пользование участком недр местного значения. По второму эпизоду экс-глава Удмуртии обвинялся в получении 5 млн руб. и взятки в виде незаконного оказания услуг имущественного характера общей стоимостью 29 тыс. руб. Соловьев полностью признал вину и сотрудничал со следствием, однако в ходе судебного процесса отказался от признательных показаний. 14 октября 2020 г. Завьяловский районный суд республики признал его виновным в получении взяток и приговорил к 10 годам колонии строгого режима и штрафу в размере 275 млн руб. 18 марта 2021 г. стало известно, что суд удовлетворил ходатайство бывшего главы республики и освободил его от тюремного наказания в связи с болезнью.
24 июля 2023 г. скончался в больнице в Ижевске после продолжительной болезни.
Являлся секретарем Удмуртского регионального отделения Всероссийской политической партии "Единая Россия" (2010-2015).
Был награжден орденом Дружбы (2010).
Заслуженный строитель РФ (1996), почетный дорожник России.