Родился 15 июля 1969 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Первые пять лет жизни провел в г. Фритаун (Сьерра-Леоне), где его отец работал инженером на строительстве порта, а мать преподавала русский язык и литературу в школе при посольстве СССР.
В 1974-1976 гг. Александр Васильев проживал с родителями в г. Зарасай (Литовская ССР, ныне - Литовская Республика), с 1976 г. - в Ленинграде. В школьные годы освоил игру на гитаре.
В 1986-1988 гг. учился в Ленинградском институте авиационного приборостроения (ныне - Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения), но не окончил его. В студенческие годы подрабатывал на Кондитерской фабрике им. Н. К. Крупской и на строительстве торфовозной железной дороги в Тверской области. Был автором текстов и гитаристом любительской рок-группы "Митра". Одним из участников этой группы также был Олег Куваев (в 2023 г. признан в РФ иноагентом) - известный в будущем мультипликатор, создатель флеш-сериала "Масяня". В 1988 г. "Митра" пыталась вступить в Ленинградский рок-клуб, но не прошла прослушивание у одного из основателей группы "Аквариум" Анатолия Гуницкого.
В 1988-1990 гг. Александр Васильев проходил срочную службу в рядах Советской армии.
После демобилизации поступил в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии им. Н. К. Черкасова (ныне - Российский государственный институт сценических искусств), но не окончил его. В 1990-1992 гг. работал монтировщиком сцены в Санкт-Петербургском государственном академическом театре комедии им. Н. П. Акимова.
В 1993-1994 гг. Александр Васильев работал в театре "Буфф". В течение этого времени вместе с бас-гитаристом Александром Морозовым и клавишником Николаем Ростовским записывал в звуковой студии театра музыкальный альбом "Пыльная быль" (сам Васильев был солистом и автором текстов 11 из 12 песен).
27 мая 1994 г. музыканты провели встречу, посвященную окончанию записи "Пыльной были". Этот день принято считать датой основания рок-группы "Сплин", бессменным лидером которой стал Александр Васильев. Он же является солистом, гитаристом и автором большинства песен коллектива. Состав остальных участников группы неоднократно менялся.
Александр Васильев записал со "Сплином" 15 студийных альбомов. В их числе: "Коллекционер оружия" (1996), "Гранатовый альбом" (1998), "Альтависта" (1999), "Новые люди" (2003), "Сигнал из космоса" (2009), "Ключ к шифру" (2016). Последний к настоящему времени, "Встречная полоса", вышел в мае 2018 г.
В конце 1990-х гг. "Сплин" утвердился в качестве одной из наиболее популярных рок-групп страны. Среди известных песен: "Орбит без сахара", "Выхода нет", "Линия жизни", "Мое сердце", "Новые люди", "Гандбол", "Урок географии", "Романс", "Письмо", "До встречи!", "Оркестр", "Храм".
В 2004 г. Александр Васильев выпустил сольный музыкальный альбом "Черновики", в 2018 г. - сборник стихов "Сплин. Весь этот бред".
Женат вторым браком. Супруга - Ольга Журба. От брака с ней - сын Роман (род. 2014) и дочь Нина (род. 2018). От первого брака - сын Леонид (род. 2006).