Родился 9 января 1966 г. в Мурманске.
В 1987 г. окончил Московский инженерно-строительный институт им. В.В. Куйбышева (ныне - Национальный исследовательский университет "Московский государственный строительный университет") по специальности "промышленное и гражданское строительство", получив квалификацию "инженер-строитель".
После окончания вуза был распределен в трест "Мурманскпромстрой". С 1987 г. работал мастером строительно-монтажного участка в СМУ-1, в 1989 г. возглавил строительно-монтажный участок СМУ-2.
С 1991 г. работал в строительной компании "Агростроймонтаж" (с 1992 г. - акционерное общество), один из учредителей компании. В феврале 1993 г. занял должность технического директора "Агростроймонтаж". В 1996-2000 гг. - генеральный директор, с 2000 по 2010 гг. - председатель совета директоров ОАО "Строительная компания "АСМ" ("Агростроймонтаж")". В настоящее время - группа компаний "АСМ", один из крупнейших в Мурманской обл. многопрофильных инвестиционно-строительных холдингов, который осуществляет полный цикл строительных услуг.
В 2004-2016 гг. - депутат Совета депутатов г. Мурманска III, IV и V созывов. В 2004-2009 гг. возглавлял постоянную комиссию по экономической политике и хозяйственной деятельности. В 2009 г. был избран председателем городского Совета депутатов. Член фракции "Единая Россия".
В 2010-2016 гг. - глава муниципального образования город Мурманск. Был избран 30 ноября 2010 г. депутатами горсобрания, сменил на посту Степана Тананыкина. Одновременно продолжал исполнять полномочия председателя Совета депутатов Мурманска (согласно уставу города). Возглавлял городскую администрацию до октября 2016 г.
В 2016-2021 гг. – депутат Государственной думы РФ VII созыва. 18 сентября 2016 г. был избран депутатом Госдумы от партии "Единая Россия" по Мурманскому одномандатному избирательному округу №128. Набрал 44,16% голосов, его ближайший конкурент - депутат мурманской гордумы Максим Белов (ЛДПР) - 15,48%. Алексей Веллер вошел в состав партийной фракции, в комитет по экономической политике, промышленности, инновационному развитию и предпринимательству.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва от "Единой России". Был избран 19 сентября 2021 г. по Енисейскому одномандатному избирательному округу №57 (Красноярский край). Набрал 36,86%% голосов (второе место в округе занял муниципальный депутат Виталий Макаров от КПРФ, 15,57%).
Член президиума Мурманского регионального отделения "Единой России",