Родился 23 августа 1956 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург) в семье служащих.
В 1978 г. окончил Ленинградское высшее военное строительное инженерное училище им. А. Н. Комаровского, которое ныне носит название Военный институт (инженерно-технический) Военной академии материально-технического обеспечения имени генерала армии А. В. Хрулёва. Получил специальность "военный инженер-строитель".
С 1978 по 1991 г. - в Вооруженных силах СССР. В 1978-1984 гг. - в Московском военном округе на должностях производителя работ, начальника строительного участка управления начальника работ (УНР). В 1984-1989 гг. проходил службу в Дальневосточном военном округе (Курильской район Сахалинской области). Был начальником строительного участка, заместителем начальника отдела УНР. В марте 1989 г. был переведен в Ленинград на должность начальника производственного отдела.
В 1991 г. уволился в запас в звании подполковника.
В марте 1991 г. вернулся в Сахалинскую область, где вместе с партнерами - Григорием Богилой и Сергеем Грязновым - создал ООО "Гидрострой" (впоследствии - ЗАО "Гидрострой"), которое стало градообразующим предприятием в Курильском районе области. В 1991-2009 гг. - генеральный директор компании, с мая по декабрь 2009 г. - президент ЗАО "Гидрострой". Холдинг является основным подрядчиком по реализации федеральной целевой программы "Социально-экономическое развитие Курильских островов", рассчитанной до 2025 г.
Член советов Всероссийской ассоциации рыбохозяйственных предприятий, предпринимателей и экспортеров, Ассоциации добытчиков минтая.
Трижды - в 1997, 2001 и 2005 гг. - Александр Верховский избирался депутатом заксобрания Курильского района Сахалинской области.
Член Всероссийской политической партии "Единая Россия".
В 2010-2017 гг. - член Совета Федерации РФ - представитель законодательного органа власти Сахалинской области. Был наделен полномочиями сенатора Сахалинской областной думой в декабре 2009 г. Совет Федерации подтвердил полномочия Александра Верховского лишь 10 ноября 2010 г. (переназначен в октябре 2012 г.).
По словам Александра Верховского, в связи с избранием в Совет Федерации, он передал акции своих предприятий в доверительное управление.
С 2010 г. входил в комитет СФ по аграрно-продовольственной политике и рыбохозяйственному комплексу, в 2011 г. был избран заместителем председателя данного комитета. Затем, с ноября 2011 г., работал в составе комитета по аграрно-продовольственной политике и природопользованию.
14 октября 2012 г. избирался депутатом Сахалинской областной Думы VI созыва от партии "Единая Россия" (на выборах возглавлял региональную группу №8).
16 октября 2017 г. Александр Верховский досрочно сложил сенаторские полномочия. После ухода из Совфеда вернулся к предпринимательской деятельности.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 135 млн 80 тыс. руб., супруги - 5 млн 919 тыс. руб.
В 2018 г. в российской версии журнала "Форбс" состояние Александра Верховского оценено в 500 млн долларов США (188 место в рейтинге "200 богатейших бизнесменов России").
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (1998). Лауреат премии правительства РФ в области науки и техники за 2007 г.
В 2003 г. стал лауреатом Международной премии "За веру и верность" Фонда Андрея Первозванного за "самоотверженный труд по возрождению экономики Курильских островов и сохранение целостности Российского государства".