Родилась 1 августа 1986 г. во Львове (Украинская ССР, ныне Украина) в семье Сергея и Ирины Весниных.
Выпускница Черноморской гуманитарной академии (ныне образовательное частное учреждение высшего образования "Международный инновационный университет", Сочи, Краснодарский край).
Елена Веснина начала заниматься теннисом в шестилетнем возрасте в Сочи под руководством заслуженного тренера России Юрия Юдкина. В дальнейшем наставниками спортсменки были ее отец Сергей Веснин и заслуженный мастер спорта РФ Андрей Чесноков, а также заслуженный тренер России Евгения Манюкова.
С 2002 г. Елена Веснина выступает в профессиональных соревнованиях.
В 2007 г. в Москве в составе сборной России выиграла Кубок Федерации (ныне Кубок Билли Джин Кинг) - крупнейшие международные командные соревнования в женском теннисе. В финале россиянки нанесли поражение итальянкам. В 2008 г. в Мадриде (Испания) вновь стала победительницей Кубка Федерации. В финале россиянки обыграли испанок.
В 2013 г. на XXVII Всемирной летней Универсиаде в Казани Елена Веснина завоевала золото в парном разряде (вместе с Анастасией Павлюченковой) и в смешанных соревнованиях (вместе с Андреем Кузнецовым). Там же стала обладательницей серебра в турнире женских команд (с Анастасией Павлюченковой, Екатериной Яшиной и Маргаритой Гаспарян).
Елена Веснина является победительницей трех турниров Женской теннисной ассоциации (Women's Tennis Association, WTA) в одиночном разряде (2013 - Хобарт, Австралия; Истборн, Великобритания; 2017, Индиан-Уэллс, шт. Калифорния, США).
Вместе с соотечественницей Екатериной Макаровой трижды первенствовала на турнирах Большого шлема в парном разряде (2013, Париж, Открытый чемпионат Франции; 2014, Нью-Йорк, Открытый чемпионат США; 2017, Лондон, Великобритания - Уимблдонский турнир). Помимо этого, 14 раз выигрывала турниры WTA в парном разряде: по одному разу - вместе с россиянками Анастасией Родионовой (2005, Квебек, Канада), Еленой Лиховцевой (2007, Хобарт), Динарой Сафиной (2008, Индиан-Уэллс), Дарьей Касаткиной (2015, Москва) и австралийкой Мариной Эракович (2011, Линц, Австрия), два раза - вместе с представительницей Индии Саней Мирзой (2011 - Индиан-Уэллс; Чарльстон, шт. Южная Каролина, США) и семь раз - вместе с Екатериной Макаровой (2012 - Пекин, Китай; Москва; 2013, Индиан-Уэллс; 2016, Монреаль, Канада; 2017 - Дубай, ОАЭ; Торонто, Канада; 2018, Мадрид).
В январе 2016 г. вместе с бразильцем Бруно Соарешем первенствовала в Мельбурне на Открытом чемпионате Австралии в смешанном разряде.
14 августа 2016 г. Елена Веснина вместе с Екатериной Макаровой стала чемпионкой XXXI летних Олимпийских игр в Рио-де-Жанейро (Бразилия) в парном разряде. В финальном матче россиянки нанесли поражение представительницам Швейцарии Тимее Бачински и Мартине Хингис.
В октябре 2016 г. Веснина и Макарова выиграли Итоговый турнир Женской теннисной ассоциации в Сингапуре.
1 августа 2021 г. Елена Веснина вместе с соотечественником Асланом Карацевым завоевала серебро теннисного турнира в смешанном разряде в рамках XXXII летних Олимпийских игр в Токио (Япония). В финале они уступили другому российскому дуэту - Анастасии Павлюченковой и Андрею Рублеву.
В текущем одиночном рейтинге WTA Елена Веснина занимает 303-е место (наиболее высокой позицией было 13-е место в марте 2017 г.). На протяжении карьеры она заработала 13 млн долларов призовых.
Заслуженный мастер спорта РФ (2007).
Награждена орденом Дружбы (2016), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I степени (2021). Отмечена Почетной грамотой президента РФ (2013).
Почетный гражданин Сочи (2016).
Замужем. Супруг - предприниматель Павел Табунцов. Дочь - Елизавета (род. 2018).