Родился 6 февраля 1964 г. в Новосибирске в семье Петра Александровича и Галины Александровны Звягинцевых. После развода родителей жил с матерью, которая работала преподавателем русского языка и литературы.
В 1984 г. Андрей Звягинцев окончил Новосибирское государственное театральное училище (НГТИ; ныне - Новосибирский государственный театральный институт). Выпускник курса Льва Белова. В 1990 г. окончил в Москве актерский факультет Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС), где учился в мастерской Евгения Лазарева.
В первой половине 1980-х гг., будучи студентом НГТИ, играл в Новосибирском театре юного зрителя. Исполнял роли в спектаклях "Не помню", "Гуманоид в небе мчится", "Акселераты" и др.
Впоследствии снимался в эпизодических ролях в фильмах и сериалах "Горячев и другие" (1994, режиссер Юрий Беленький), "Ширли-Мырли" (1995, Владимир Меньшов), "Котенок" (1996, Иван Попов), "Будем знакомы!" (1999, Игорь Шавлак), "Каменская" (1999, Юрий Мороз) и др. Был занят в независимых театральных проектах режиссера Владимира Агеева - "Игра в классики" по роману Хулио Кортасара (1994) и "Месяц в деревне" по пьесе Ивана Тургенева (1997).
В 2000 г. Андрей Звягинцев дебютировал в качестве режиссера. По приглашению генерального продюсера "РЕН ТВ" Дмитрия Лесневского он принял участие в проекте "Черная комната" (цикл художественных фильмов) - снял новеллы "Бусидо", "Obscure" и "Выбор".
В 2003 г. вышел первый полнометражный фильм режиссера - драма "Возвращение". В том же году картина была удостоена нескольких наград Венецианского кинофестиваля, в т. ч. "Золотого льва" за лучший художественный фильм и приза Луиджи Ди Лаурентиса за лучший режиссерский дебют. В 2004 г. "Возвращение" было отмечено российскими кинопремиями "Ника" и "Золотой орел" в категории "Лучший игровой фильм".
В 2007 г. состоялась премьера драмы Андрея Звягицева "Изгнание", снятой по мотивам произведения Уильяма Сарояна "Что-то смешное. Серьезная повесть". Фильм представлял Россию в основной конкурсной программе Каннского фестиваля.
В 2011 г. вышла третья кинокартина Андрея Звягинцева - драма "Елена". В том же году фильм получил спецприз жюри конкурсной программы "Особый взгляд" на Каннском фестивале, Гран-при международных кинофестивалей в Дурбане (ЮАР) и Генте (Бельгия). В 2012 г. ленте была присуждена российская кинопремия "Золотой орел" в категории "Лучший игровой фильм".
В 2014 г. состоялась премьера социальной драмы Андрея Звягинцева "Левиафан". Она стала лауреатом американской кинопремии "Золотой глобус" в номинации "Лучший фильм на иностранном языке" (2015), а также завоевала различные награды международных кинофестивалей в Мюнхене (Германия, 2014), Лондоне (Великобритания, 2014), Гоа (Индия, 2014), Луксоре (Египет, 2015) и др. Картина входила в шорт-лист номинантов американской кинопремии "Оскар" в номинации "Лучший фильм на иностранном языке" (награду получил фильм "Ида" польского режиссера Павла Павликовского).
В 2017 г. на 70-м Каннском фестивале состоялась мировая премьера пятого полнометражного фильма Андрея Звягинцева - драмы "Нелюбовь". Картина, представленная в основной конкурсной программе, была удостоена приза жюри. В том же году фильм получил Гран-при Мюнхенского кинофестиваля и Международного конкурса художественных фильмов "Золотой кокон" (Адана, Турция). В марте 2018 г. "Нелюбовь" стала первой российской лентой, завоевавшей французскую кинопремию "Сезар" в номинации "Лучший фильм на иностранном языке". Картина была включена в "короткий список" номинантов кинопремии "Оскар" в категории "Лучший фильм на иностранном языке" (награду получил фильм "Фантастическая женщина" чилийского режиссера Себастьяна Лелио).
Сценарии ко всем полнометражным фильмам, кроме "Возвращения", были написаны самим Андреем Звягинцевым в соавторстве с Олегом Негиным.
Андрей Звягинцев является обладателем российских кинопремий "Ника" (2012 - "Елена") и "Золотой орел" (2012 - "Елена", 2015 - "Левиафан", 2018 - "Нелюбовь") в номинации "Лучшая режиссерская работа".
Женат. Супруга - фотограф Анна Матвеева. От брака с ней имеет сына Петра (род. 2009). Первой женой режиссера была актриса Ирина Гринева.