Александр Леньков родился 17 мая 1943 года в Тамбовской области. В 1965 году он закончил студию при Театре им. Моссовета под руководством прославленного советского режиссера Юрия Завадского и был принят в труппу театра. В нем артист работал до конца жизни.
На счету Ленькова около ста киноролей. Среди самых известных фильмов с участием артиста: "Зимняя вишня", Сибирский цирюльник", "Маленькая вера", "Дайте жалобную книгу", "Приключения Петрова и Васечкина, обыкновенные и невероятные", "Марш Турецкого" и другие.
Среди последних спектаклей, в которых был задействован Леньков: "В пространстве Теннесси У", "Не будите мадам", "Свадьба Кречинского".
Артист работал на радио, а также озвучивал персонажей мультфильмов студий Disney и Dreamworks Pictures. В "Чип и Дейл спешат на помощь" Леньков озвучил Дейла, в "Новых приключениях Винни-Пуха" - Пятачка, в "Чудесах на виражах" - Баламута, в третьей части "Шрека" - волшебника Мерлина.
Леньков также озвучивал персонажей голливудских фильмов. В "Королевстве полной луны" Уэса Андерсона актер озвучил рассказчика, в "Римских приключениях" Вуди Аллена - персонажа Джерри, в первой части "Гарри Поттера и Даров Смерти" - Наземникуса Флэтчера.
Последние годы артист преподавал во ВГИКе. В этом году он планировал сыграть в родном регионе - на сцене Тамбовского государственного драматического театра.