Родился 25 июня 1928 г. в семье известных патологоанатомов Алексея Ивановича Абрикосова (1875-1955) и Фани Давидовны Вульф (1895-1965). Принадлежал к роду русских купцов, фабрикантов Абрикосовых, основателей одного из старейших кондитерских предприятий России (ныне концерн "Бабаевский"). Отец заведовал кафедрой патологической анатомии медицинского факультета Второго Московского государственного университета (впоследствии Второй Московский государственный медицинский институт, ныне Российский национальный исследовательский медицинский университет им. Н. И. Пирогова), провел первое бальзамирование тела основателя советского государства Владимира Ленина (Ульянова), впоследствии стал членом Академии наук (АН) СССР и Академии медицинских наук СССР. Мать работала ассистенткой кафедры патологической анатомии Первого Московского мединститута (ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова), прозектором Кремлевской больницы.

В 1948 г. Алексей Абрикосов окончил физический факультет Московского государственного университета (МГУ им. М. В. Ломоносова).

В 1943 г. Алексей Абрикосов поступил в Московский энергетический институт. В 1945 г. перевелся на физический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова, который окончил в 1948 г. Затем учился в аспирантуре Института физических проблем АН СССР (ныне ИФП им. П. Л. Капицы РАН), где его научным руководителем был академик АН СССР физик Лев Ландау.
Доктор физико-математических наук. В 1951 г. в ИФП АН СССР защитил кандидатскую диссертацию (была посвящена изучению термодиффузии в полностью или частично ионизованной плазме), в 1955 г. там же - докторскую диссертацию (по квантовой электродинамике высоких энергий).
В 1964 г. был избран членом-корреспондентом, в 1987 г. - академиком АН СССР (ныне Российская академия наук, РАН) по Отделению общей и прикладной физики.

После защиты кандидатской диссертации, в 1951 г. Алексей Абрикосов был назначен младшим научным сотрудником ИФП АН СССР. Работал в институте до 1965 г.
В 1965 г. возглавил сектор теории твердого тела в Институте теоретической физики АН СССР (с 1968 г. носит имя Льва Ландау, ныне ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН), который был образован годом ранее в подмосковном поселке (ныне город) Черноголовка. Участвовал в становлении ИТФ. Впоследствии сектор был преобразован в отдел, Алексей Абрикосов заведовал им до 1986 г.
С 1988 по 1991 г. был директором Института физики высоких давлений АН СССР (ныне ИФВД им. Л. Ф. Верещагина РАН; г. Троицк, Москва).
Одновременно с научной работой вел преподавательскую деятельность. В 1966-1970 гг. был профессором кафедры физики низких температур физического факультета МГУ.
В 1970-1972 гг. - профессор Горьковского государственного университета (ныне Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского).
В 1972-1976 гг. заведовал кафедрой теоретической физики в Московском физико-техническом институте (ныне МФТИ имеет статус национального исследовательского университета), в 1975-1990 гг. - кафедрой теоретической физики в Московском институте стали и сплавов (ныне Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС").
В 1991 г. Алексей Абрикосов эмигрировал в США, приняв приглашение Аргоннской национальной лаборатории в штате Иллинойс. Работал в ней ведущим научным сотрудником.
В 1999 г. получил американское гражданство.
Был адъюнкт-профессором Иллинойского университета в Чикаго (США) , Университета штата Юта (США), Университета Лафборо (Великобритания).
Академик Абрикосов занимался исследованием сверхпроводимости, теорией твердого тела и квантовой жидкости, астрофизикой, статистической физикой, физикой плазмы, квантовой электродинамикой. В 1954-1956 гг. рассчитал функции Грина и эффективные сечения различных процессов при больших энергиях в квантовой электродинамике. В 1952 г. выдвинул идею о существовании сверхпроводников второго рода. В 1957 г. построил теорию магнитных свойств сверхпроводящих сплавов и ввел представление о двух критических полях и "смешанном" состоянии с вихревой структурой токов ("вихри Абрикосова"). В 1960 г. совместно с физиком-теоретиком Львом Горьковым разработал теорию сверхпроводников с магнитными примесями и предсказал явление бесщелевой сверхпроводимости. В 1962-1963 гг. построил теорию полуметаллов типа висмута, в 1970-1975 гг. - теорию бесщелевых полупроводников. В 1976-1977 гг. развил общий подход для изучения проводимости квазиодномерных систем и ввел понятие о параметре делокализации. В 1977-1981 гг. создал теорию одномерных и квазиодномерных металлов, в 1978-1980 гг. - теорию спиновых стекол с короткодействием.
Работая в Аргоннской национальной лаборатории США, Алексей Абрикосов смог объяснить большинство свойств высокотемпературных сверхпроводников на основе купратов (сложные соединения меди). В 1998 г. указал на возможность нового явления - квантового линейного магнетосопротивления, которое в 1928 г. впервые экспериментально было обнаружено физиком Петром Капицей, но никогда не рассматривалось в качестве самостоятельного эффекта.
29 марта 2017 г. Алексей Абрикосов скончался в г. Пало-Алто (штат Калифорния, США) на 89-м году жизни.

В 2003 г. Алексей Абрикосов совместно с российским физиком Виталием Гинзбургом и американским ученым Энтони Леггеттом получил Нобелевскую премию по физике за основополагающие работы по теории сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей.
Был награжден советскими орденами "Знак Почета" (1975), Трудового Красного Знамени (1988). Являлся лауреатом Ленинской премии (1966), Государственной премии СССР (1982).

Также был лауреатом международной премии Фрица Лондона (1972), премии им. Л. Д. Ландау (АН СССР, 1989), международной премии им. Джона Бардина (1991).
В 2015 г. был награжден золотой медалью им. В. И. Вернадского Национальной академии наук Украины.
Являлся членом Американской академии наук и искусств (1991), Американского физического общества (1992), Национальной академии наук США (2000), Лондонского королевского научного общества (2001), почетным доктором Университета Лозанны (Швейцария, 1975), Университета Бордо (Франция, 2003) и др.

Автор и соавтор научных работ: "О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы" (1957), "Теория ферми-жидкости (свойства жидкого Не3 при низких температурах)" (1958), "Современная теория сверхпроводимости" (1958), "Современное состояние проблемы сверхпроводимости" (1965), "Магнитные примеси в немагнитных металлах" (1969), "Введение в теорию нормальных металлов" (1972), "Современная монография по физике твердого тела" (1974), "Резонансное туннелирование в высокотемпературных сверхпроводниках" (1998), "Сверхпроводники второго рода и вихревая решетка" (2004) и др. Соавтор фундаментальных учебников "Методы квантовой теории поля в статистической физике" (1962), "Основы теории металлов" (1988).

В 2022 г. на базе МФТИ в г. Долгопрудном (Московская обл.) был открыт Международный центр теоретической физики им. А. А. Абрикосова.