Родился 27 июля 1971 г. в гор. Голицыно Одинцовского района Московской обл.

В 1988 г. окончил Московское суворовское военное училище Минобороны СССР (ныне России), в 1992 г. - Московское высшее общевойсковое командное училище им. Верховного Совета РСФСР (ныне Московское высшее общевойсковое командное училище).
Затем служил в Западной группе войск в Германии и в Московском военном округе (МВО), где последовательно занимал должности командира разведывательного взвода, роты, заместителя командира батальона, командира батальона.
В 1999-2001 гг. проходил обучение в Общевойсковой академии ВС РФ (Москва), после чего был назначен начальником штаба мотострелкового полка МВО, а позже - командиром полка 2-й гвардейской мотострелковой Таманской дивизии (Московская обл.)
С ноября 2006 г. являлся командиром 27-й отдельной гвардейской мотострелковой Севастопольской Краснознаменной бригады им. 60-летия СССР (г. Москва). С ноября 2007 г. командовал 2-й гвардейской мотострелковой Таманской дивизией вплоть до ее расформирования 15 мая 2009 г. С октября 2009 г. был начальником 473-го окружного учебного центра подготовки младших специалистов в Приволжско-Уральском военном округе.
В 2012 г. окончил Военную академию Генштаба ВС РФ (Москва), после чего в звании генерал-майора был назначен на должность заместителя командующего объединением в Центральном военном округе.
С июня 2013 г. являлся начальником штаба - заместителем командующего, а с июля 2014 г. - командующим 20-й гвардейской общевойсковой армией Западного военного округа (Нижегородская обл.). С воссозданием в ноябре 2014 году 1-й гвардейской танковой Краснознаменной армии (Московская обл.) занял пост ее командующего и оставался в этой должности до апреля 2017 г.
С началом военной операции Вооруженных сил РФ в Сирийской Арабской Республике (САР) в 2015 г. Александр Чайко был назначен начальником штаба российской группировки войск. На этом посту он отвечал за создание инфраструктуры, определения порядка службы на базах, взаимодействие с сирийскими союзниками, а также принимал участие в разработке планов по борьбе с террористическими формированиями.
12 декабря 2016 г. Александру Чайко было присвоено звание генерал-лейтенанта.
В апреле 2017 г. он был назначен начальником штаба - первым заместителем командующего ВВО (г. Хабаровск). С ноября 2018 по февраль 2019 г. являлся заместителем начальника Военной академии Генерального штаба ВС РФ. С февраля 2019 г. по ноябрь 2021 г. был заместителем начальника Генштаба ВС РФ.
В периоды с 2019 по 2020 г. и с февраля по июнь 2021 г. Александр Чайко занимал пост командующего российской группировкой войск в САР. За время его руководства было налажено совместное патрулирование российскими и турецкими военными стратегической трассы М4 Латакия - Алеппо, а также организованы гуманитарные операции в провинции Идлиб.
По информации газеты "Известия", в 2020 г. закрытым указом президента РФ Владимира Путина генерал-лейтенанту Александру Чайко присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали "Золотая Звезда" "за мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания".
11 июня 2021 г. Александру Чайко было присвоено звание генерал-полковника.
Согласно информации телеканала "Звезда", 12 ноября 2021 г. указом президента РФ генерал-полковник Александр Чайко был назначен командующим войсками ВВО, сменив на этом посту генерал-полковника Геннадия Жидко.
В 2022 г. вновь принял командование российской группировкой войск в САР.

Генерал-полковник (2021).

Награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" III степени с мечами, орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени с мечами, орденом Суворова, орденом "За военные заслуги"